3. Определитель порядка n. Определение.

В п. 1 была дана предварительная формулировка для определителя. В ней не хватало правила расстановки знаков слагаемых, но было указано, что это правило должно быть связано с разбиением перестановок на два класса. В п. 2 было описано разбиение перестановок на два класса — четных и нечетных перестановок. Это разбиение и положим в основу правила расстановки знаков в определителе. Таким образом, приходим к следующей полной формулировке.

Определителем квадратной матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным — со знаком «минус».

Легко проследить, что расстановка знаков в определителях второго и третьего порядков соответствует сформулированному правилу.

Настоятельно рекомендую читателю не пожалеть времени и выписать в развернутой форме определитель четвертого порядка.

В символической записи определитель можно записать так:

где пробегает все перестановки чисел далее, множитель равен , если — четная перестановка, и равен —1, если нечетная.

Ясно, что понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из любого ассоциативного коммутативного кольца и, в частности, из любого поля.