Научная библиотека

ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Как известно, комплексными числами называются выражения вида , где а и b — вещественные числа, i — некоторый символ, удовлетворяющий соотношению Первые попытки введения в математику комплексных чисел были сделаны итальянскими математиками 16 в. Кардано и Бомбелли в связи с решением уравнений 3-й и 4-й степеней. Однако признание комплексных чисел как ценного орудия исследования происходило очень медленно. Недоверие вызывал сам символ i («мнимая единица»), заведомо не существующий среди вещественных чисел. Это недоверие усугублялось тем, что некритическое перенесение некоторых формул обычной алгебры на комплексные числа порождало неприятные парадоксы (например, , но вместе с тем, используя формальное выражение и обычные правила действий с квадратными корнями, получим . Лишь в 19 в. Гауссу удалось дать достаточно убедительное обоснование понятия комплексного числа. Построенная в 19 в. на основе комплексных чисел теория функций комплексного переменного обогатила математический анализ новыми результатами, придала значительной части математического анализа чрезвычайную стройность и простоту, а в дальнейшем оказалась могущественным средством исследования в важных разделах механики и физики. Таким образом, «невозможные», «мнимые» числа явились ценнейшим средством исследования, и тем самым их введение в науку оказалось оправданным не только их непротиворечивостью, но и практической важностью.

§ 1. Обоснование комплексных чисел

1. Наводящие соображения.

Задание комплексного числа вполне определяется заданием двух обыкновенных вещественных чисел а и b, называемых его компонентами.

Вводя комплексные числа, необходимо ввести и арифметические действия над ними, по возможности с сохранением обычных правил действий, но с обязательством заменять символ на —1. Постараемся охарактеризовать правила этих действий в терминах компонент, без упоминания о «сомнительном» символе . Так, если по обычным правилам элементарной алгебры «сложить» два комплексных числа , то мы получим комплексное число и при этом компоненты суммы двух комплексных чисел будут равны суммам соответствующих компонент слагаемых.

Далее, т. e. первая компонента произведения двух комплексных чисел равна разности произведений первых и вторых компонент, а вторая компонента равна сумме произведений первой компоненты одного из сомножителей на вторую компоненту другого.

Наконец, положив (и считая, что получим а , т. е. комплексное число с нулевой второй компонентой отождествляется с вещественным числом, именно, с первой компонентой.

Разумеется, все эти соображения имеют лишь наводящий характер — мы сформулировали в терминах компонент правила действий над комплексными числами, как будто мы уже каким-то образом убедились в закономерности введения этих странных математических объектов. Но то, что нам это удалось сделать, естественно наводит на мысль дать само определение комплексных чисел и действий над ними в терминах компонент, т. е. вещественных чисел.

2. Определение комплексных чисел. Комплексными числами называются упорядоченные пары вещественных чисел (компонент), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся согласно следующим определениям (аксиомам).

I. Пары считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи:

II. Суммой пар называется пара (а ), т. е.

III. Произведением пар называется пара т. е.

IV. Пара отождествляется с вещественным числом а, т. е.

Таким образом, в данном определении комплексных чисел, составными частями которого являются определения их равенства, суммы, произведения, нет речи о каком-либо извлечении квадрат ного корня из отрицательных чисел.

Все определения формулируются в терминах вещественных чисел и действий над ними.

В первых трех аксиомах речь идет об определении разных понятий. Поэтому их сопоставление не может привести к каким-либо противоречиям. Единственное, чего можно опасаться, это нарушения обычных законов действий, которое априори могло бы произойти. Несколько в другом положении находится аксиома IV. Дело в том, что понятия равенства, суммы и произведения для вещественных чисел имеют определенный смысл, и если бы оказалось, что эти понятия расходятся с теми, которые возникают в силу аксиом I, II, III при рассмотрении вещественных чисел как пар специального вида, то это привело бы к такой путанице (пришлось бы отличать сумму вещественных чисел как таковых, от их суммы как пар, и т. д.), что следовало бы от аксиомы IV отказаться.

Поэтому прежде всего нужно сопоставить аксиому IV с аксиомами I, II, III.

I и IV. Пусть вещественные числа равны, как отождествленные с ними пары (а, 0) и (b, 0). Это будет, согласно аксиоме I, в том и только в том случае, когда , т. е. если они равны в обычном смысле.

II и IV. Сумма вещественных чисел а и 6, рассматриваемых как пары и (b, 0), равна, согласно аксиоме II, паре (а , отождествленной с числом а т. е. с суммой а и b в обычном смысле.

III и IV. Произведение вещественных чисел а и b, рассматриваемых как пары и (b, 0), равно согласно аксиоме III паре , отождествленной с числом т. е. с произведением а и в обычном смысле. Таким образом, аксиома IV хорошо согласована с аксиомами I, II, III и не приводит к путанице, которой можно было бы опасаться.

Обратим внимание еще на одну формулу, непосредственно вытекающую из аксиом III, IV, именно,

если — какое угодно вещественное число. Действительно, ) Допустим теперь, что m — натуральное число. В силу аксиомы II и т. д., так что (та, ) есть результат последовательного сложения слагаемых, равных что хорошо согласуется с привычным представлением о том, что умножение на натуральное число равно сильно сложению равных слагаемых. Это еще раз свидетельствует о хорошем согласовании аксиом.