§ 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома

1. Выражения значений симметрических полиномов от корней полинома через его коэффициенты.

Пусть полином имеет корни в некотором расширении поля К.

Тогда

Раскрыв скобки и сравнив коэффициенты при степенях буквы х, получим:

Мы видим, что значения основных симметрических полиномов от си просто выражаются через коэффициенты:

Пусть теперь — симметрический полином с высшим членом Тогда

Следовательно,

В первое слагаемое множитель —1 войдет с показателем Но — степень одночлена . Если полином F однородный степени , то во все слагаемые войдет множитель . В знаменатель первого слагаемого правой части войдет соответственно в знаменатель второго слагаемого войдет причем и т. д.

Поэтому для однородного симметрического полинома степени будет

т. е. является полиномом от коэффициентов полинома f(x).

Пример. Доказать, что корни полинома

не могут быть все вещественными при любых вещественных коэффициентах .

Действительно, сумма квадратов корней равна . Если бы все корни были вещественные, сумма их квадратов была бы положительным числом.