2. Действия над классами.

Пусть . Представим себе, что числа, сравнимые с нулем, мы записываем черными цифрами, сравнимые с единицей — красными, сравнимые с 2 — желтыми, сравнимые с 3 — фиолетовыми, сравнимые с 4 — зелеными и сравнимые с 5 — синими. Тогда предложения 3 и 4 можно переформулировать так: цвет суммы двух чисел зависит только от цветов слагаемых, но не от того, как выбраны эти слагаемые внутри своих классов. То же относится к разности и к произведению. Например, складывая «желтое» число с «синим», мы всегда получим «красное». Умножая «синее» на «фиолетовое», мы всегда получим «фиолетовое», и т. д. Сокращенно это можно записать: и т. д. Для шести символов: мы можем записать «суммы», «разности» и «произведения», руководствуясь сложением, вычитанием и умножением чисел (все равно каких), взятых из соответствующих классов.

То же самое имеет место при любом . Для того чтобы указать класс, к которому принадлежит сумма, разность или произведение двух чисел, нам достаточно знать классы, к которым эти числа принадлежат, а как они выбраны внутри классов — на результате не сказывается. Это обстоятельство делает естественными следующие определения.

Суммой двух классов по модулю m называется класс по модулю , к которому принадлежит сумма каких-либо чисел из слагаемых классов.

Произведением двух классов по модулю называется класс модулю , к которому принадлежит произведение каких-либо чисел из перемножаемых классов.

В силу предложений 3, 4 эти определения корректны — какие бы числа из двух данных классов мы ни выбрали, их сумма и их произведение будут принадлежать вполне определенным классам, не зависящим от выбора чисел внутри данных классов.

Пример. Приведем «таблицы умножения» для классов по модулю 7 и 8.

Таблица 1

Таблица 2

Символы в табл. 1 обозначают классы по модулю 7, которым принадлежат числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значение символов в табл. 2 — аналогично. Такими обозначениями мы будем пользоваться и впредь — символ а будет обозначать класс по модулю (который предполагается заданным), содержащий число а.

Рассмотрение классов по модулю как объектов, над которыми совершаются действия, часто вызывает у начинающих некоторое затруднение. Иногда оно вызывается тем, что класс это не число, а бесконечное множество чисел, и сама мысль о том, что действие над классами суть действия сразу над бесконечными множествами чисел, кажется противоестественной. Для преодоления этого психологического барьера следует мыслить вместо класса одно из чисел этого класса, но безразлично какое, как бы отказываясь различать их одно от другого, как бы «склеивая» их в один объект. Собственно говоря, это обычный и привычный в обыденной жизни путь формирования абстрактного понятия. Говоря слово «яблоко», мы отвлекаемся от особенностей конкретных представителей этого класса предметов и подразумеваем некоторое яблоко, все равно какое. Нам привычно, говоря «яблоко», не вызывать в воображении множество всех имеющихся на земле в данный момент яблок. Так же надо относиться к понятию «класс по модулю .

Отметим некоторые очевидные свойства действий над классами по модулю.

1. (ассоциативность сложения).

Действительно, есть класс, содержащий есть класс, содержащий . Но , откуда и следует требуемое.

2. , (коммутативность сложения).

3. Класс играет роль нуля при сложении: при любом а.

4. Класс играет роль класса, противоположного классу а, именно,

5. (дистрибутивность).

6. (ассоциативность умножения).

7. (коммутативность умножения).

Свойства 3 и 4 очевидны. Свойства 2, 5, 6, 7 доказываются точно так же, как свойство 1, посредством перехода от классов к любым числам из этих классов, для которых соответствующие свойства действий имеют место.

8. Класс играет роль единицы при умножении классов, именно, при любом а.