3. Тригонометрическая запись комплексного числа.

Модуль и аргумент а комплексного числа связаны с его компонентами при помощи формул

Эти формулы непосредственно следуют из определения функций любого угла. Ясно, что

Эти формулы определяют модуль и аргумент по данным а и b. Для определения аргумента можно пользоваться формулой при Однако эта формула задает лишь с точностью до целого кратного (т. е. полуоборота), а не до целого кратного

Это заставляет дополнительно выбирать из двух значений в противоположных четвертях одно, по знаку (или ), совпадающему со знаком а (соответственно b).

Подставляя вместо компонент комплексного числа их выражения через модуль и аргумент, получаем

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Примеры:

где — угол первой четверти, косинус которого равен