4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.

Пусть дана система уравнений

где f и - полиномы степеней пит соответственно. Будем предполагать, что коэффициенты полиномов принадлежат алгебраически замкнутому полю и решения разыскиваются в этом поле. (Заметим, что алгебраически замкнутое поле даже в случае ненулевой характеристики содержит бесконечно много элементов. Действительно, к любой конечной системе элементов можно присоединить новый элемент, например, корень полинома

Пусть — однородная часть степени полинома . Возможно, что . Сделаем «перекос оси абсцисс» посредством замены неизвестной у на (новая ось абсцисс имеет в исходных координатах уравнение . Коэффициент при станет равным и а можно выбрать так, что (это требование налагает конечное число запретов на выбор а).

Одновременно можно добиться того, что коэффициент станет отличным от нуля. В дальнейшем мы еще наложим некоторые запреты на выбор «коэффициента перекоса» а.

Ясно, что решение системы

и решение системы после замены у на тривиально сводятся одно к другому, так что можно с самого начала считать, что коэффициенты при в полиноме и при в полиноме отличны от нуля.

Итак, пусть Так как степень равна , степени полиномов не превосходят L Соответственно, степени не превосходят Составим результант рассматривая как полиномы от с коэффициентами, зависящими от у. Этот результант является полиномом от степень которого не превосходит что следует из того, что вес каждого члена результанта равен Допустим «начала, что результант не равен нулю тождественно. Тогда он имеет конечное число корней, не более чем Подставив любой корень результанта в полиномы , мы получим полиномы от одного неизвестного результант которых равен нулю. Значит, они имеют общие корни, каждый из которых, вместе со значением для у, дает решение системы. Легко видеть, что все решения находятся на этом пути. Действительно, если — решение системы, то зависящие только от полиномы имеют общий корень и, следовательно, их результант равен нулю, т. е. является корнем результанта

Таким образом, система имеет конечное число решений Для оценки их числа наложим дополнительные ограничения на коэффициент перекоса а. Именно, потребуем, чтобы в новых неизвестных все решения имели различные

Это приводит снова к конечному числу запретов для а, именно, запрещены равенства . При таком выборе а для каждого у найдется только одно значение для Так как число корней результанта не превосходит то и число решений системы не превосходит

Если же результант равен нулю тождественно, то для любого у найдется соответствующее значение для так что система будет иметь бесконечно много решений.

Причиной этого является наличие в этом случае нетривиального общего делителя у полиномов , и любое решение уравнения дает и решение системы.