§ 4. Прямое произведение групп

1. Внешнее прямое произведение.

Пусть имеются две группы Рассмотрим их декартово произведение, т. е. множество пар Введем для них «покомпонентное» умножение: Свойство ассоциативности, очевидно, имеет место, так как оно имеет место в компонентах. Элемент (1, 1) является единицей относительно введенного умножения. Для обратным будет, очевидно, . Таким образом, декартово произведение групп превращено в группу, которая называется внешним прямым произведением групп и обозначается .

Выясним некоторые свойства внешнего прямого произведения.

1. Множество элементов вида есть нормальная подгруппа группы изоморфная группе

То, что элементы вида образуют подгруппу, очевидно. Столь же очевиден ее изоморфизм с группой в силу соответствия Подгруппу, образованную элементами вида , обозначим

Из цепочки равенств

следует, что нормальная подгруппа в

2. Множество элементов вида ) есть нормальная подгруппа группы изоморфная

Это свойство ничем, кроме обозначений, не отличается от предыдущего. Подгруппа, образованная элементами вида ), обозначается

3. Элементы из подгрупп соответственно, коммутируют при умножении.

Действительно,

4. . Очевидно.

5.

Действительно, любой элемент из равен

2. Разложение группы в прямое произведение.

По большей части прямые произведения возникают при изучении конкретных классов групп.

Предл ожение 1. Пусть в группе G имеются две нормальные подгруппы такие, что Тогда элементы из коммутируют с элементами из

Доказательство. Пусть Рассмотрим их коммутатор . При расстановке скобок становится ясно, что ибо первый множитель принадлежит по условию, а второй принадлежит Ни ибо — нормальная подгруппа. Расстановка скобок из аналогичных рассуждений дает . Но имеют единственный общий элемент — единицу. Следовательно,

Теорема 2. Пусть в группе G имеются две нормальные подгруппы такие, что Тогда G изоморфна прямому произведению

Доказательство. Рассмотрим внешнее прямое произведение и сопоставим каждой паре элемент группы G. Это отображение гомоморфно. Действительно, произведению пар сопоставляется элемент Но в силу предложения так что , т. е. образ произведения пар равен произведению образов. Это отображение является отображением на всю группу G, ибо . Оно взаимно однозначно, ибо если при то . Левая часть приадлежит правая следовательно ибо Таким образом, отображение оказывается действительно изоморфизмом групп

В этой ситуации говорят, что G разлагается в прямое произведение нормальных подгрупп и произведение в этом случае называют внутренним прямым произведением нормальных подгрупп

Понятие прямого произведения естественно обобщается на произвольное конечное множество групп. Именно, (внешним) прямым произведением групп называется множество строк при с покомпонентным умножением:

Легко видеть, что это множество есть группа с единицей . Прямое произведение обозначается

Имеют место следующие свойства.

1. Множество элементов вида образует нормальную подгруппу группы изоморфную группе Обозначим ее

2. Произведение равно

3. Элементы групп и при коммутируют.

4. Пересечение каждой группы с произведением всех остальных состоит только из 1.

Внутреннее прямое произведение определяется аналогично разобранному выше случаю k = 2. Именно:

Теорема 3. Пусть группа G имеет нормальные подгруппы Ни такие, что и при любом i пересечение подгруппы с произведением состоит только из 1. Тогда G изоморфна прямому произведению .

Доказательство. В силу предложения 1 элементы из разных подгрупп коммутируют. Сопоставим элементу элемент Это отображение гомоморфно: ибо элементы при коммутируют. Оно эпиморфно, ибо Оно мономорфно, ибо из равенства следует, в силу коммутирования элементов из разных что Левая часть принадлежит правая — произведению всех при Поэтому обе части равны 1 и и это верно для всех Итак рассматриваемое отображение есть изоморфизм.

3. Прямое прозведение факторгрупп.

Пусть — подгруппы групп . Внешнее прямое произведение есть, очевидно, подгруппа группы

Если являются нормальными подгруппами групп что есть нормальная подгруппа группы

Предложение 4. Факторгруппа группы по равна

Доказательство. Смежные классы группы по образованы последовательностями где - пробегает — фиксированные элементы из Эти множества естественно рассматривать как последовательности классов смежности Покомпонентное умножение элементов этих множеств сводится к покомпонентному умножению классов смежности, т. е. элементов факторгрупп Тем самым предложение доказано.