9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями совокупности строк называются преобразования трех видов: перестановка строк местами, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к строке строки, пропорциональной другой строке. Очевидно, что при каждом из этих преобразований совокупность строк превращается в линейно эквивалентную. Для первых двух преобразований это совершенно ясно, для третьего: если при , то при Поэтому ранг совокупности строк не меняется при элементарных преобразованиях.

Матрица вида

при называется верхней трапециевидной. Легко видеть, что ранг трапециевидной матрицы равен k. Действительно, минор

отличен от нуля, все же миноры порядка и выше равны нулю, так как у них имеется хотя бы одна нулевая строка.

Предл ожение 14. Любая матрица за счет элементарных преобразований над строками и, быть может, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную.

Доказательство. Если матрица не нулевая, она содержит ненулевой элемент, который посредством перестановок строк и столбцов можно перевести в левый верхний угол.

Итак, пусть матрица имеет вид

Теперь сделаем элементарные преобразования: ко второй строке прибавим первую, умноженную на к третьей — первую, умноженную на и т. д. После этих преобразований придем к матрице

Если матрица равна нулю, процесс окончен

Если нет — то сначала за счет перестановок строк и столбцов добьемся того, чтобы элемент в позиции стал отличен от нуля.

Затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на , и т. д. Придем к матрице

Продолжаем процесс до тех пор, пока не исчерпаем все строки или не придем к очередной матрице, равной нулю. В результате получим трапециевидную матрицу.