Научная библиотека

§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)

1. Определение и простейшие свойства.

Напоминаем, что линейной комбинацией строк (или вообще матриц) называется строка (матрица) стит, где с, — числа (элементы основного поля). Ясно, что если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация равна нулевой строке.

Совокупность строк называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты не равные нулю одновременно, такие, что стит (здесь 0 обозначает нулевую строку). Если же такие коэффициенты не существуют, т. е. из равенства стит следует, что все коэффициенты равны нулю, то совокупность строк называется линейно независимой.

Так, например, строки линейно зависимы, ибо строки линейно независимы, ибо из следует

откуда

Предложение 1. Для того чтобы совокупность строк была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из строк была линейной комбинацией остальных.

Действительно, пусть совокупность строк линейно зависима. Это значит, что существуют не равные одновременно нулю, такие, что стит . Пусть . Тогда

Необходимость доказана.

Пусть теперь . Тогда , т. e. совокупность линейно зависима.

Другая формулировка этого предложения:

Для того чтобы совокупность строк была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы ни одна из строк не была линейной комбинацией остальных.

Отметим еще некоторые очевидные предложения, касающиеся свойств линейной зависимости и независимости.

Ясно, что любая совокупность строк, содержащая нулевую строку, линейно зависима. Действительно, нулевая строка есть линейная комбинация остальных строк с нулевыми коэффициентами. Столь же ясно, что всякая совокупность строк, содержащая две равные или две пропорциональные строки, линейно зависима. Далее, если совокупность строк линейно зависима, то всякая большая совокупность будет тоже линейно зависима. Наконец, если совокупность строк линейно независима, то и всякая ее часть линейно независима.

Предложение 2. Пусть строки составляют линейно независимую совокупность, а строки — линейно зависимую. Тогда есть линейная комбинация

Действительно, в равенстве не равными одновременно нулю коэффициентами коэффициент отличен от 0, так как иначе совокупность была бы линейно зависимой. Следовательно, .

Строку будем называть отрезком строки

Предложение 3. Если между строками имеется линейная зависимость, то такая же зависимость имеет место и для их отрезков фиксированной длины.

Действительно, равенство означает, что все компоненты строки стит равны нулю, а равенство означает то же самое для компонент, входящих в отрезки.

Отсюда непосредственно следует, что если некоторые отрезки строк линейно независимы, то и сами строки составляют линейно независимую совокупность.