6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду.

Даны две квадратичные формы . Существует ли невырожденное линейное преобразование переменных , приводящее обе формы к каноническому виду?

Оказывается, такое преобразование возможно не всегда. Однако имеется один частный случай, когда такое приведение возможно, важный тем, что он часто встречается на практике. Именно, верна следующая теорема.

Теорема квадратичные формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к каноническому виду посредством невырожденного вещественного линейного преобразования переменных.

Доказательство. Пусть и форма h положительно определенная. Сделаем преобразование приводящее форму h к каноническому виду: Так как форма h положительно определенная, все коэффициенты положительны. Сделаем теперь преобразование , где Это преобразование приведет форму h к чистой сумме квадратов , так что . Форма f превратится в форму с матрицей . Преобразуем эту форму к каноническому виду ортогональным преобразованием Это преобразование не изменит матрицы формы ибо в силу ортогональности матрицы Р. Итак, результирующее преобразование приводит обе формы к каноническому виду, причем положительно определенная приведется к виду чистой суммы квадратов и, . Теорема доказана.

Остановимся еще на некоторых подробностях. Пусть — матрица результирующего преобразования. Тогда , где некоторые вещественные числа и . Тогда

и

Пусть . Тогда , так что . Тем самым коэффициенты оказываются равными корням полинома который иногда называют характеристическим полиномом матрицы А относительно матрицы В. Ясно, что этот полином лишь множителем отличается от полинома , т. е. от характеристического полинома матрицы . Из равенств

следует

так что матрица подобна диагональной матрице и все ее собственные значения вещественны. То же относится и к матрице которая подобна матрице .

Матрица положительно определенной квадратичной формы называется положительно определенной матрицей. Покажем, что матрица, обратная к положительно определенной, сама положительно определенная. Действительно, если В положительно определенная, то существует невырожденная матрица С такая, что , где D — диагональная матрица из положительных чисел. Тогда , где . Это значит, что квадратичная форма с матрицей приводится к канонической форме с матрицей составленной из положительных чисел.

Сказанное выше о матрицах мы теперь можем сформулировать так:

Матрица, являющаяся произведением двух вещественных симметричных матриц, из которых одна положительно определенная, подобна вещественной диагональной матрице, и все ее собственные значения вещественны. Заметим, что произведение двух симметричных матриц, вообще говоря, не симметрично.