3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов).

Рассмотрим произведение двух матриц А и В. Разобьем матрицу В на клетки, считая клетками столбцы В, матрицу А рассмотрим как состоящую из одной клетки. Соответствующими клетками их произведения С будут столбцы. Получим . Здесь — столбцы В и, соответственно, — столбцы С. С таким представлением произведения мы уже встречались.

Теперь примем за клетки В ее строки:

а за клетки А — ее элементы: . В этом представлении

так что строками матрицы АВ оказываются линейные комбинации строк В.

Аналогично, расщепление А на строки дает:

расщепление же А на столбцы дает

Таким образом, умножение матрицы на некоторую вспомогательную матрицу слева равносильно линейному комбинированию строк матрицы, умножение справа — линейному комбинированию столбцов.

Рассмотрим матрицу элементами которой являются 1 на месте и нули на остальных местах. Умножение слева некоторой матрицы на переставляет строку матрицы на место, а все остальные строки заменяет нулями. Квадратная матрица называется матрицей трансвекции или матрицей элементарного преобразования. Умножение слева на равносильно прибавлению к строке строки, умноженной на с, с сохранением всех остальных строк. Такие преобразования неоднократно применялись нами по различным поводам. Умножение на справа переставляет столбец на место, заменяя нулями остальные столбцы. Умножение справа на равносильно добавлению к столбцу умноженного на с.

Треугольная матрица называется унитреугольной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Выясним, как изменяются строки матрицы А при умножении ее слева на правую унитреугольную матрицу С. Пусть

Здесь — строки матрицы А.

Имеем:

так что первая строка получена из первой строки А прибавлением последующих строк, умноженных на с, вторая — из второй прибавлением последующих строк с соответствующими множителями и т. д., последняя остается без изменения.

Если А — квадратная матрица, то при всех описанных преобразованиях определитель матрицы не изменяется, так что .

Если С — левая унитреугольная матрица

то

и здесь описание преобразований удобно начинать с конца: к последней строке прибавляются предшествующие, умноженные на к предпоследней — предшествующие, умноженные на соответствующие элементы матрицы С, и т. д.; ко второй строке прибавляется первая, умноженная на и первая остается без изменения. Поэтому и в этом случае .

При правом умножении на унитреугольную матрицу С происходят аналогичные преобразования столбцов, поэтому также .