ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ

§ 1. Общие сведения

1. Определение и простейшие свойства алгебр.

В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем К), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства — их «произведение». В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения ху линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, т. е.

Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем К.

Иначе можно сказать, что алгебра есть одновременно кольцо и линейное (векторное) пространство с естественным согласованием кольцевого умножения и векторных действий. Именно, сложение в кольце и сложение в векторном пространстве совпадают, а свойства дистрибутивности для умножения «усиливаются» до линейности по каждому множителю, для чего достаточно потребовать, чтобы при любых из алгебры.

Читатель уже неоднократно встречался с алгебрами. Напомним некоторые знакомые примеры алгебр.

1. Поле С. комплексных чисел над полем R вещественных чисел образует, очевидно, алгебру размерности 2.

2. Кольцо квадратных матриц порядка с элементами из поля К образует алгебру над этим полем размерности

3. Кольцо многочленов образует алгебру бесконечной размерности над полем К.

4. Пусть f — фиксированный многочлен степени из Классы сравнений по модулю f образуют алгебру размерности п.

Все эти алгебры ассоциативны. Все они, кроме алгебры квадратных матриц, коммутативны. Примером неассоциативной алгебры может служить пространство векторов в трехмерном евклидовом пространстве с умножением в смысле векторного умножения.

Мы будем рассматривать только конечномерные алгебры.

С каждым элементом алгебры А связаны два оператора, действующие в линейном пространстве алгебры.

Это оператор правого умножения сопоставляющий каждому элементу его произведение на справа, и оператор левого умножения Оператор линеен в силу линейности умножения в алгебре относительно левого множителя. Далее, отображение пространства алгебры А в пространство линейных операторов тоже линейно в силу линейности умножения в алгебре относительно правого множителя. Аналогично, линеен оператор и линейно отображение Операторы правого и левого умножения связаны очевидным соотношением:

Задание некоторого линейного отображения —данного векторного пространства А в пространство S линейных операторов, действующих в А, можно рассматривать как задание алгебры, для которой операторы суть операторы правого умножения. Действительно, если для элементов х, у А положить , то линейность этого умножения относительно первого множителя обусловливается линейностью операторов а линейность относительно второго множителя — линейностью отображения Аналогично алгебра может быть задана и посредством задания операторов левого умножения.

Две алгебры А и В называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение А на В, преобразующее произведение прообразов в произведение образов.

Например, алгебра С комплексных чисел (как алгебра над полем R) изоморфна алгебре вещественных матриц вида Действительно, отображение линейно, взаимно однозначно и

Взаимно однозначное соответствие

между тройками вещественных чисел и антисимметричными матрицами третьего порядка есть изоморфизм алгебр, если тройки умножать по правилу векторного умножения векторов, заданных в декартовой системе координат, а «произведением» матриц L и М считать