4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора.

Пусть в пространстве S действует оператор Для некоторого вектора из S построим наименьшее инвариантное подпространство, содержащее вектор . С этой целью введем в рассмотрение совокупность продолжая ее до тех пор, пока в первый раз не возникнет линейная зависимость, так что линейно независимая совокупность векторов, а уже линейно зависимая.

Тогда вектор есть линейная комбинация предшествующих:

(Мы сознательно взяли коэффициенты линейной комбинации со знаком минус.)

Пространство Р, натянутое на векторы инвариантно. Действительно, если , то , ибо все слагаемые принадлежат Р.

Далее, если Q — какое-либо инвариантное подпространство, содержащее вектор то оно содержит и векторы и, следовательно, . Таким образом, Р есть минимальное инвариантное подпространство, содержащее вектор оно называется циклическим подпространством, порожденным вектором

Равенство

можно записать в виде

где

Полиномы обладающие свойством называются аннуляторами вектора Покажем, что является аннулятором наименьшей степени среди ненулевых аннуляторов. Действительно, если есть аннулятор для вектора , то , что возможно только при в силу линейной независимости Поэтому полином называется минимальным аннулятором вектора

Предложение 3. Любой аннулятор вектора делится на минимальный аннулятор.

Действительно, пусть — некоторый аннулятор вектора и - минимальный аннулятор Поделим на с остатком: причем степень меньше степени . Тогда

откуда ибо . Следовательно, ибо — аннулятор наименьшей степени.