5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы.

Пусть А — данная квадратная матрица и С — невырожденная матрица. Матрица называется подобной матрице А и переход от А к называется преобразованием подобия посредством С. Отношение подобия симметрично, ибо транзитивно, т. е. если две матрицы подобны третьей, то они подобны.

Действительно, пусть . Тогда

Покажем, что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены. Действительно,

Вернемся к ортогональному преобразованию квадратичных форм. Равенство можно переписать в виде ибо матрица Р ортогональна, так что матрица А подобна диагональной матрице . Поэтому их характеристические многочлены равны. Ясно, что характеристический многочлен диагональной матрицы равен . Итак, . Тем самым мы доказали, что каково бы ни было ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду, коэффициенты этого канонического вида равны собственным значениям матрицы квадратичной формы, причем каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического полинома.

Равенство можно записать в виде Обозначив через столбцы матрицы Р, получим

откуда

и

Итак, столбцы преобразующей ортогональной матрицы являются собственными векторами матрицы, квадратичной формы. Доказанные обстоятельства существенно помогают фактическому вычислению коэффициентов при квадратах и элементов преобразующей матрицы. Именно, нужно найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы. Но может получиться одна неприятность: столбцы преобразующей матрицы должны быть ортогональны, а собственные векторы априори ортогональными не обязаны быть. Оказывается, что эта неприятность возникает, только если имеются кратные собственные значения. Именно, верна следующая теорема.

Теорема 4. Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Условие ортогональности двух столбцов можно записать в матричном виде двумя равносильными формулами: или

Пусть А — вещественная симметричная матрица, — ее собственные векторы, соответствующие собственным значениям причем Вычислим двумя способами число . С одной стороны, поэтому . С другой стороны, из следует откуда Вычитая, получим откуда ибо Итак, столбцы ортогональны, что и требовалось доказать.