Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Извлечение корня из комплексного числа

1. Вывод формулы извлечения корня.

Пусть — натуральное число. Извлечь корень с показателем из комплексного числа a — это значит найти комплексное число (или числа) так, что Каждое число такое, что называется корнем степени из а и обозначается

Ясно, что если то единственным значением является число 0, поэтому сосредоточим внимание на случае . Запишем а в тригонометрической форме и будем искать тоже в тригонометрической записи:

Равенство запишется в виде

Приравнивая модули и аргументы (с учетом многозначности), получим, что последнее равенство равносильно равенствам:

Данное число положительно (ибо ) и искомое число R должно быть тоже положительным. Известно, что для любого положительного числа существует единственное положительное значение корня степени, называемое арифметическим значением корня, и это значение принято записывать в виде степени с дробным показателем. Итак, . Аргумент же 0 находится просто делением:

Таким образом, корни степени из комплексного числа а существуют, и все они даются формулой

при любом (мы ставим индекс k при для того, чтобы подчеркнуть многозначность и зависимость его значений от параметра k, могущего принимать все целые значения).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление