6. Вычисление определителей.

Для того чтобы вычислить определитель, пользуясь определением этого выражения, нужно вычислить произведений сомножителей, каждое из которых равносильно попарных умножений чисел. Таким образом, для вычисления определителя этим способом требуется попарных умножений и много сложений, которых мы не учитываем как значительно менее трудоемкую операцию. Так, при число умножений равно . Никакая самая мощная вычислительная машина не в состоянии справиться с таким числом операций.

Теперь посмотрим, как можно воспользоваться свойствами определителя. Разложение по строке (или по столбцу) показывает, что вычисление определителя порядка в основном сводится к вычислению определителей порядка Но если в строке есть нули, то нужно столько определителей порядка сколько имеется отличных от нуля элементов в строке (в столбце). Но при помощи добавления к строкам чисел, пропорциональных другим сцрокам, можно получать нули в столбцах.

Проследим за этим. Пусть нам нужно вычислить определитель

Положим для простоты, что . Вынесем из первой строки за знак определителя:

При этом нам нужно выполнить деление (деление и умножение считаются одинаковыми по сложности операциями).

Далее, прибавим ко второй строке первую, умноженную на к третьей — первую, умноженную на и т. д. При этом нужно сделать умножений и столько же сложений. Получится определитель вида

Для этого перехода нужно умножений и делений и сложений.

Но теперь разложение по первому столбцу сводит задачу к вычислению одного определителя порядка, и процесс нужно продолжить дальше. Всего для перехода к определителю первого порядка, т. е. к одному числу, нужно умножений и делений и

После этого нужно последнее число (определитель первого порядка) умножить на множителей, которые выносились за знак определителя. Это требует еще попарных умножений.

Всего при нужно умножений и делений и сложений.

Современная ЭВМ, способная производить несколько миллионов операций в секунду, легко справится с таким вычислением.

При практических вычислениях все может проходить не так благополучно, как в теоретическом описании. Возможно, что в левом верхнем углу очередной матрицы окажется нуль или число, близкое к нулю. Это обстоятельство заставляет выбирать так называемый ведущий элемент — по возможности, наибольший в строке или во всей матрице, на который производится деление строки. Но это значительно усложняет программу при машинном проведении вычислений.

Мы не будем приводить примеров вычисления численно заданных определителей типа таких, которые могут встретиться в приложениях, например,

Ясно, что для вычисления такого определителя нужны хотя бы несложные вычислительные средства.

Мы рассмотрим примеры другого рода, не требующие вычислительных средств, но нуждающиеся в проявлении известной сообразительности при применении свойств определителей.

Пример 1. Вычислить

Квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю, называется верхней (или правой) треугольной. (Заметим, что главной диагональю квадратной матрицы называется последовательность элементов, стоящих в позициях

Ясно, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали, ибо это произведение есть единственное слагаемое, отличное от нуля.

Пример 2. Вычислить

Здесь естественно ко всем строкам прибавить первую, умноженную на —1. Тогда получится определитель:

Пример 3. Вычислить определитель порядка я

Если бы вместо 0 в левом верхнем углу находилась 1, мы легко вычислили бы определитель, подобно примеру 2. Прибавим все строки к первой. Получим

Остается вычесть первую строку из всех остальных. Получим:

Пример 4. Вычислить

В строках циклически передвигаются 1,2,3, ...,n. Прибавим к последней строке все предшествующие. Получим:

Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий (из последнего предпоследний, из предпоследнего предшествующий и т. д.):

Теперь вычтем первую строку из всех последующих:

Разложение по последнему столбцу дает

При решении последних примеров мы довольно смело составляли линейные комбинации строк. Однако при этом важно следить, чтобы не прибавлять в неизмененном виде строку, изменившуюся в процессе предыдущих преобразований. Иначе можно, например, «доказать», что любой определитель равен нулю. Вот это «доказательство»: дан определитель. Прибавим первую строку ко второй и вторую к первой. Получим определитель с двумя одинаковыми строками, а он равен нулю. Ошибка в этом «доказательстве» состоит именно в том, что вторая строка уже изменилась после прибавления к ней первой строки, и прибавлять ее к первой можно только в этом измененном виде — только тогда можно говорить о сохранении величины определителя.