Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 7. Характеристический полином матрицы

1. Определение характеристического полинома.

Сопоставим квадратной матрице с элементами из поля К матрицу , элементы которой принадлежат кольцу полиномов . Матрица называется характеристической матрицей для А, а ее определитель называется характеристическим полиномом матрицы А.

Если

то с коэффициентами из К. Вычислим . Заметим, что есть коэффициент в определителе

Буква t входит, причем в первой степени, только в диагональные элементы матрицы . Следовательно, каждое слагаемое определителя, содержащее имеет в числе сомножителей по крайней мере диагональных элементов, но тогда и последний сомножитель тоже диагональный. Таким образом, коэффициент при равен коэффициенту при в полиноме , т. е. равен — . Таким образом, Это выражение имеет специальное название — след матрицы А и обозначается или (от Spur — нем., Trace — англ.).

Для подсчета свободного члена положим . Получим , откуда .

Остальные коэффициенты тоже можно подсчитать, но это несколько сложнее.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление