§ 4. Операторы в унитарном пространстве

1. Инвариантный флаг для оператора в комплексном пространстве.

Пусть S — векторное пространство над полем С и М — линейный оператор в

Предложение 1. Для оператора М, действующего в комплексном пространстве S, существует флаг, составленный из инвариантных подпространств.

Для доказательства достаточно установить, что для каждого Агмерного инвариантного подпространства Р найдется объемлющее его -мерное инвариантное подпространство . Пусть и М — оператор, индуцированный оператором М на . Пусть А — собственное значение оператора М и — соответствующий собственный вектор. Пусть и — произвольный вектор из класса . Тогда при . Вектор и не принадлежит , ибо . Пусть — подпространство, натянутое на базис на вектор и. Оно -мерно, ибо и . Оно инвариантно. Действительно, значит, что при . Тогда ибо и, z и принадлежат . Тем самым предложение 1 доказано.

В любом базисе флага, составленного из инвариантных подпространств, оператор имеет верхнюю треугольную матрицу. Действительно, пусть — базис флага, состоящего из инвариантных подпространств . Тогда

Далее, и т. д. Матрица из координатных столбцов векторов есть

Диагональные элементы матрицы А суть собственные значения оператора М, ибо характеристический полином матрицы А равен

Пусть теперь S — унитарное пространство. В силу теоремы об ортогонализации для любого флага существует ортонормальный базис. Следовательно, верна следующая теорема Шура:

Теорема 2. Для любого оператора в унитарном пространстве существует ортонормальный базис, в котором оператор имеет верхнюю треугольную матрицу.

Любую квадратную комплексную матрицу можно принять за матрицу линейного оператора по отношению к некоторому ортонормальному базису. Переход от исходного ортонормального базиса к ортонормальному базису инвариантного флага влечет пр -образование координат с унитарной матрицей. Поэтому теорема Шура имеет следующий эквивалент на языке матриц:

Для любой квадратной комплексной матрицы А существует такая унитарная матрица С, что есть верхняя треугольная матрица.

Рассмотрим один интересный частный случай. Пусть матрица сама унитарна. Тогда верхняя треугольная матрица тоже унитарна и, следовательно, ее строки и столбцы нормированны, т. е. суммы квадратов модулей элементов всех ее строк и столбцов равны 1. Но легко видеть, что верхняя треугольная матрица

с нормированными строками и столбцами диагональна и ее диагональные элементы по модулю равны 1. Действительно, рассматривая сумму квадратов модулей элементов первого столбца, получим . Для первой строки теперь получим откуда . Теперь обратимся ко второму столбцу и затем второй строке. Получим и т. д. Таким образом, для унитарных матриц верна следующая теорема:

Теорема 3. Для любой унитарной матрицы А найдется такая унитарная матрица С, что диагональна. Все собственные значения унитарной матрицы равны по модулю 1.

Эту теорему мы получим далее в качестве частного случая более общей теоремы.

2. Сопряженный оператор.

Сопряженным оператором для данного оператора М, действующего в унитарном пространстве S, называется такой оператор М, что при любых векторах х и у имеет место равенство

Докажем существование сопряженного оператора. С этой целью перейдем к координатной записи. Пусть — столбец из координат вектора в некотором ортонормальном базисе, — координаты вектора у и — матрица оператора М.

Тогда

Вторые сомножители в этой сумме комплексно сопряжены с числами

которые являются координатами вектора где оператор М имеет матрицу

которая транспонирована и комплексно сопряжена (т. е. просто сопряжена, как мы условились на стр. 140) с матрицей оператора . Итак, нам удалось построить оператор М такой, что

Теперь нужно показать единственность сопряженного оператора и, тем самым, независимость от выбора ортонормального базиса в пространстве S. Пусть . Тогда при любых х и у будет Так как это выполнено при всех заключаем, что при всех и значит, что .

Итак, для любого оператора М существует единственный сопряженный оператор, и его матрица в любом ортонормальном базисе сопряжена с матрицей оператора М.

Отметим некоторые очевидные свойства действия сопряжения операторов.

Свойство 1 очевидно из рассмотрения матриц для М и . Это же легко проверяется и бескоординатно:

Свойства 2 и 3 непосредственно получаются из определения сопряженного оператора. Свойство 4 проверяется, например, так: .

Для дальнейшего важно еще одно, менее очевидное свойство сопряженного оператора.

Предложение 4. Ортогональное дополнение к инвариантному для оператора М подпространству Р инвариантно для оператора М.

Доказательство. Пусть . Это значит, что у ортогонален всем векторам из в частности, всем векторам при . Это значит, что Это равенство верно для всех следовательно,

3. Нормальные операторы.

Оператор, действующий в унитарном пространстве, называется нормальным, если он перестановочен со своим сопряженным. К классу нормальных операторов относятся самосопряженные операторы, совпадающие со своими сопряженными, и унитарные операторы, для каждого из которых сопряженный равен обратному.

В ортонормальном базисе самосопряженный оператор имеет эрмитову матрицу, а унитарный — унитарную.

Предложение 5. Если М — нормальный оператор, — единичный и а — любое комплексное число, то оператор — тоже нормальный.

Доказательство. Проверим равенство Имеем

Поэтому ибо .

Предложение 6. Собственный вектор нормального оператора есть собственный вектор и сопряженного оператора, соответствующий сопряженному собственному значению.

Доказательство. Пусть и — собственный вектор нормального оператора М, принадлежащий собственному значению К. Тогда , что можно записать как , где —

Из равенства следует, что . Но Следовательно, откуда , что и требовалось доказать.

Теорема 7. Для нормального оператора существует ортонормальный базис, в котором матрицы оператора и его сопряженного диагональны и их соответствующие диагональные элементы сопряжены.

Доказательство. Пусть — нормированный собственный вектор для нормального оператора М и — одномерное подпространство, натянутое на вектор

Так как является собственным вектором и для М, подпространство инвариантно и для М. Следовательно, ортогональное дополнение инвариантно как для М, так и для М. Ограничения операторов М и М на останутся взаимно сопряженными, ибо раз равенство верно для всех векторов х, у пространства, оно будет верно и для векторов из . Для оператора М на найдется нормированный собственный вектор Он ортогонален вектору Вектор будет собственным и для М. Поэтому подпространство натянутое на векторы их и , инвариантно как для М, так и для М. Его ортогональное дополнение тоже инвариантно для М и М, которые на останутся взаимно сопряженными находится нормированный собственный вектор из, который ортогонален он будет собственным вектором и для оператора М. Продолжая этот процесс шаг за шагом, построим ортонормальную совокупность собственных векторов для М, которая в конце концов даст базис пространства. В этом базисе матрицы операторов М и М диагональны. Соответствующие диагональные элементы будут сопряжены как собственные значения операторов М и М, соответствующие одному и тому же собственному вектору. Теорема доказана.

По ходу доказательства теоремы мы конструировали ортонормальный базис из собственных векторов. Но некоторые собственные векторы ортогональны автоматически.

Предложение 8. Собственные векторы нормального оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Действительно, пусть и и v — собственные векторы нормального оператора М, соответствующие собственным значениям К и . Тогда и и v будут собственными векторами и для сопряженного оператора М, соответствующие собственным значениям X и Подсчитаем двумя способами число о). С одной стороны, . С другой стороны, Сравнив, получим откуда , что и требовалось доказать.

Доказанное предложение дает возможность указать другую конструкцию для построения ортонормального базиса из собственных векторов.

В силу диагонализуемости матрицы нормального оператора любой вектор пространства равен сумме собственных векторов, и, следовательно, пространство равно сумме подпространств собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. В силу предложения 8 эта сумма ортогональная. Поэтому для построения ортонормального базиса всего пространства достаточно объединить ортонормальные базисы всех подпространств собственных векторов.

Нормальность оператора не только достаточна для диагонализируемости матрицы в некотором ортонормальном базисе, но и необходима. Действительно, если матрица оператора равна , то в том же базисе матрица сопряженного базиса сопряжена с матрицей , т. е. равна а любые диагональные матрицы коммутируют.

4. Самосопряженные операторы.

Предложение 9. Для того чтобы нормальный оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы все его собственные значения были вещественными.

Действительно, матрица самосопряженного оператора в любом ортонормальном базисе совпадает с сопряженной, в частности, диагональная матрица, получающаяся в базисе из собственных векторов. Но диагональная матрица совпадает с сопряженной, составленной из комплексно сопряженных чисел, в том и только в том случае, когда она вещественна. Элементы, находящиеся на диагонали, равны собственным значениям.

Предложение о возможности унитарного преобразования матрицы самосопряженного оператора к вещественной форме, в терминах матриц означает, что для любой эрмитовой матрицы А существует унитарная матрица С такая, что есть вещественная диагональная матрица. Это равносильно тому, что эрмитова форма с матрицей А может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с унитарной матрицей. Это было сформулировано в конце гл. V.

Если оператор самосопряженный, то вещественно при всех значениях вектора Действительно,

Если все значения при ненулевых векторах положительны, то самосопряженный оператор называется положительно определенным. Если — ортонормальный базис из собственных векторов оператора при собственных значениях координаты вектора в этом базисе,

Из этого равенства следует, что для положительной определенности оператора необходимо и достаточно, чтобы все его собственные значения были положительны.

Пр едложение 10. Из положительно определенного самосопряженного оператора можно «извлечь квадратный корень», являющийся самосопряженным положительно определенным оператором. Это значит, что для положительно определенного самосопряженного оператора существует положительно определенный оператор такой, что

Доказательство. Пусть — собственные значения самосопряженного положительно определенного оператора — ортонормальный базис из соответствующих собственных векторов. Все числа положительны, и из них можно извлечь положительные квадратные корни.

Пусть — оператор, имеющий собственные векторы и собственные значения Этот оператор самосопряжен, ибо его матрица в ортонормальном базисе диагональна и вещественна. Он положительно определенный, ибо его собственные значения положительны. Квадрат его матрицы в базисе равен матрице оператора в том же базисе. Следовательно,

Теорема 11. Любой невырожденный оператор равен произведению унитарного на положительно определенный.

Доказательство. Пусть — невырожденный оператор. Тогда оператор самосопряженный и положительно определенный.

Действительно, . Далее, при имеем , ибо при . Пусть — квадратный корень из оператора . Тогда Умножив это равенство справа и слева на , получим

Но . Таким образом, оператор и его сопряженный взаимно обратны, т. е. оператор унитарный. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Это разложение носит название полярного разложения оператора.

Существует и другое полярное разложение, в котором положительно определенный множитель находится слева, а унитарный справа. Действительно, применив полярное разложение к сопряженному оператору получим

и переход к сопряженным дает

Оператор унитарен вместе .

5. Оператор ортогонального проектирования.

Пусть , где . В этом случае проектирование называется ортогональным, и соответствующий оператор называется оператором ортогонального проектирования. Оператор ортогонального проектирования самосопряжен, ибо он имеет вещественную диагональную матрицу в ортонормальном базисе, получающемся посредством объединения ортонормальных базисов Р и

Предложение 12. Любой самосопряженный идемпотентный оператор есть оператор ортогонального проектирования.

Действительно, любой идемпотентный оператор М, как мы видели на стр. 331, является оператором проектирования S на параллельно . Нужно доказать только, что Р и Q ортогональны. Пусть . Тогда . В силу самосопряженности М имеем что и требовалось доказать.

6. Унитарные операторы.

Предложение 13. Для того чтобы нормальный оператор был унитарен, необходимо и достаточно, чтобы его собственные значения были равны 1 по модулю.

Действительно, диагональная матрица нормального оператора в ортонормальном базисе из собственных векторов унитарна в том и только в том случае, если все ее диагональные элементы, т. е. собственные значения, равны 1 по модулю.

Предложение о возможности унитарного преобразования подобия матрицы унитарного оператора к диагональной форме мы получили ранее более формальными средствами при помощи теоремы Шура.