§ 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел

Над полем комплексных чисел любой полином разлагается на линейные множители. Поэтому, в силу последних пунктов предыдущего параграфа, для любого оператора найдется базис, в котором матрица оператора имеет каноническую жорданову форму и, в частности, если характеристический полином оператора не имеет кратных корней, каноническая форма диагональна.

В настоящем параграфе повторим эти результаты, войдя в некоторые подробности, представляющие самостоятельный интерес.

1. Собственные векторы оператора.

Ненулевой вектор называется собственным вектором для оператора М, если имеет место равенство при некотором . Это число носит название собственного значения оператора.

Предложение 1. Собственными значениями оператора являются корни характеристического полинома и только они.

Пусть в пространстве выбран базис, матрица оператора М в этом базисе и — столбец из координат вектора х.

В координатной ферме уравнение запишется в виде системы уравнений

или, что то же самое,

Для того чтобы эта система имела ненулевые решения относительно необходимо и достаточно равенство пулю ее определителя:

а это и значит, что X есть корень характеристического полинома оператора М.

Предложение 2. Линейная комбинация собственных векторов, принадлежащих одному и тому же собственному значению, есть собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению, или нулевой вектор.

Действительно, если , то , так что если , то — собственный вектор.

Таким образом, все собственные векторы, принадлежащие собственному значению X, вместе с нулевым вектором образуют подпространство — подпространство собственных векторов.

Предложение 3. Собственные векторы, принадлежащие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Проведем индукцию по числу векторов. Для одного вектора предложение верно, ибо собственный вектор ненулевой. Пусть предложение верно для совокупности собственных векторов, число которых меньше k, и пусть их, — совокупность собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям . Допустим, что

Применив к обеим частям этого равенства оператор, получим

Умножим первую зависимость на и вычтем из второй. Получим

откуда, в силу индуктивного предположения,

По условию все разности отличны от нуля. Следовательно, . Вектор ненулевой. Значит, и .

Предложение 4. Если характеристический полином оператора не имеет кратных корней, то существует базис пространства, в котором матрица оператора диагональна.

Действительно, в этом случае, в силу предложения 3, существует базис из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора диагональна, в силу равенств

Предложение 5. Для того чтобы существовал базис, диагонализирующий матрицу оператора М, необходимо и достаточно, чтобы размерности подпространств собственных векторов были равны кратностям соответствующих собственных значений как корней характеристического полинома.

Доказательство. Пусть размерность подпространства собственных векторов, принадлежащих собственному значению к, равна k. Ясно, что это подпространство инвариантно, матрица оператора на нем равна и характеристический полином оператора на этом подпространстве равен . Ввиду того, что характеристический полином оператора на всем пространстве делится на характеристический полином М на любом инвариантном подпространстве, k не превосходит кратности А как корня характеристического полинома.

Ясно, что базис, в котором оператор М имеет диагональную форму, состоит из собственных векторов и на диагонали находятся соответствующие собственные значения. Кратность корня характеристического полинома диагональной матрицы равна кратности вхождения этого корня на диагонали. Поэтому число базисных собственных векторов, отречающих собственному значению к, равно кратности к как корня характеристического полинома. Следовательно размерность пространства собственных векторов, соответствующих к, не меньше кратности к как корня характеристического полинома, но и не больше, как было установлено выше.

Предложение 6. Любое собственное значение оператора является корнем его минимального полинома.

Доказательство. Пусть u — собственный вектор оператора принадлежащий собственному значению к. Тогда минимальным аннулятором вектора и является линейный двучлен . Минимальный полином оператора аннулирует все векторы, так что делится на все минимальные аннуляторы, в частности, на . Следовательно, к есть корень минимального полинома, что и требовалось доказать.

Из предложения 6 следует, что характеристический полином оператора и его минимальный полином разлагаются на одинаковые линейные множители, различны могут быть лишь их кратности.