Научная библиотека

ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

§ 1. Простейшие сведения

1. Об ассоциативности.

Пусть М — множество, в котором определена бинарная операция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре а, b элементов из М третий элемент — их «произведение» Из упорядоченной тройки элементов из М можно построить два произведения из четверки а, b, с, d — уже пять: из пятерки элементов — уже 14 и т. д. (Можно доказать, что число осмысленных расстановок скобок в упорядоченной совокупности из элементов равно . Ассоциативность действия означает, что оба произведения тройки элементов а, b, с равны.

Предложение 1. Если действие в М ассоциативно, т. е. М есть полугруппа, то произведение упорядоченной совокупности элементов не зависит от способа расстановки скобок, т. е. от порядка выполнения бинарных операций.

Доказательство. Назовем произведение , в котором сомножители присоединяются последовательно по одному слева направо, левонормированным. Докажем по индукции, что произведение с любой расстановкой скобок равно левонормированному. Для это верно в силу ассоциативности. Пусть и уже установлена справедливость предложения для произведений из элементов при Рассмотрим произведение элементов с какой-то расстановкой скобок (мы ее не пытаемся записать). Так как действие бинарно, это произведение равно произведению двух произведений какими-то расстановками скобок. В силу индуктивного предположения оба эти сомножителя равны левонормированным произведениям. Если , то рассматриваемое произведение равно и получается из левонормированного произведения присоединениемсправа еще одного сомножителя так что оно само левонормированно. Если же , то

и, в силу ассоциативности, равно . В силу индуктивного предположения равно левонормированному произведению и после присоединения получается снова левонормированное произведение.

Предложение доказано.

Доказанное предложение дает возможность при записи «длинных» произведений в полугруппе не расставлять скобок, указывающих порядок выполнения бинарной операции.

В частности, произведение равных сомножителей не зависит от способа расстановки скобок, так что имеет определенный смысл выражение (или при аддитивной записи) и

2. Аксиомы группы.

В первой главе мы определили группу как полугруппу (т. е. множество с бинарным ассоциативным действием), в которой существует нейтральный элемент такой, что при любом а, и для любого а существует обратный элемент — такой, что

Убедимся в том, что эти аксиомы группы можно несколько ослабить.

Предложение 2. Если в полугруппе существует левый нейтральный элемент , т. е. такой, что при любом, а, и для любого элемента а существует левый обратный а, т. е. такой, что то полугруппа является группой.

Именно эти требования были приняты в классической аксиоматике теории групп.

Доказательство. Докажем, что левый нейтральный элемент является и правым нейтральным, т. е. при любом а. С этой целью рассмотрим произведение где а — левый обратный для — левый обратный для а, и подсчитаем его двумя способами. Во-первых, Во-вторых, Итак, при любом а.

Теперь докажем, что левый обратный а элемента а является и правым обратным для а, т. е. С этой целью рассмотрим элемент . Во-первых, Во-вторых, Итак, т. е. а есть правый обратный для .

В дальнейшем в мультипликативной записи вместо а будем писать

Предложение 3. Если в полугруппе имеется левый нейтральный элемент и правый нейтральный элемент , то они совпадают.

Действительно, так как — левый нейтральный элемент и , так как — правый нейтральный элемент.

Отсюда следует, что в условиях предложения 3 полугруппа содержит только один левый нейтральный элемент, ибо любой левый нейтральный элемент равен выбранному правому нейтральному элементу и, по аналогичной причине, в этих условиях полугруппа Содержит единственный правый нейтральный элемент. В частности, в группе существует только один нейтральный элемент.

При использовании мультипликативной записи нейтральный элемент группы будем называть единицей группы и обозначать 1.

Предложение 4. В группе уравнение при данных а и b имеет единственное решение . Уравнение имеет единственное решение

Действительно, положим тогда Обратно, если , то . Этим доказано существование и единственность решения уравнения . Уравнение рассматривается аналогично.

Из предложения 4 непосредственно следует единственность обратного элемента для любого элемента группы.

Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы (полугруппы) называется ее порядком.

Приведем несколько примеров групп сверх тех примеров, которые приводились в § 3 гл. 1. Невырожденные квадратные матрицы с вещественными элементами, очевидно, образуют группу относительно умножения. Эта группа неабелева и бесконечная. Невырожденные матрицы с элементами из конечного поля тоже образуют неабелеву группу, но эта группа конечна. Выяснение ее порядка является не очень простой задачей. Множество всех подстановок элементов образует конечную неабелеву (при группу порядка Эта группа называется симметрической группой.

3. Умножение подмножеств группы.

Пусть G — группа, А и В — два подмножества ее элементов. Произведением АВ этих подмножеств называется множество произведений где а .

Ясно, что имеет место свойство ассоциативности (ВС), ибо оба эти произведения составлены из элементов Если одно из подмножеств состоит из одного элемента, например то произведение АВ обозначается АЬ, т. е. в этом контексте нет необходимости отличать элемент от составленного из него одноэлементного множества.

Введем еще одно обозначение. Через обозначим множество всех элементов, обратных к элементам множества А. Заметим, что отнюдь не является обратным к Л в смысле умножения подмножеств группы.

4. Подгруппы.

Подмножество Н элементов группы G называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в G. Из этого определения следует, что если , то . Ясно, далее, что единица Н является единицей G, ибо если то . Таким образом, единица группы G принадлежит любой ее подгруппе. Ясно также, в силу единственности обратного элемента в группе, что обратный элемент для любого элемента подгруппы будет для него обратным и во всей группе.

Предложение 5. Если подмножество Н элементов группы G содержит вместе с двумя элементами а, b их произведение и вместе с каждым элементом а его обратный то Н есть подгруппа G.

Действительно, надо лишь показать, что обладает единицей. Но единица G равна при и, следовательно, принадлежит Н согласно условиям предложения.

5. Классы смежности.

Множество На, где Н — подгруппа группы G и а — некоторый элемент из G, называется левым классом смежности группы G по подгруппе Н. Между элементами подгруппы Н и элементами левого класса смежности На имеется естественное взаимно однозначное соответствие Если подгруппа Н конечна, то число элементов в каждом левом классе смежности равно порядку Н.

Предложение 6. Два левых класса смежности группы G по подгруппе Н либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Доказательство. Нужно установить, что если два левых класса смежности имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть . Рассмотрим класс смежности . Так как , то при некотором и . Но так что . Следовательно, Аналогично, так что , что и требовалось доказать.

Попутно выяснилось полезное свойство: при любом , т. е. в качестве элемента, порождающего как правый множитель класс смежности, можно взять любой элемент из этого класса.

Теорема 7. Группа является дизъюнктным объединением левых классов смежности по подгруппе.

(Дизъюнктное объединение — это объединение множеств, попарно не имеющих общих элементов.)

Справедливость теоремы непосредственно следует из предложения 6, ибо любой элемент группы а принадлежит некоторому классу смежности, именно, На, а различные классы не имеют общих элементов.

Указанное в теореме разбиение группы называется разложением группы по подгруппе.

Если число левых классов смежности в разложении G по Н конечно, то это число называется индексом подгруппы Н в группе G и обозначается . Разумеется, если группа G конечна, то индекс любой ее подгруппы конечен.

Предложение 8. Пусть , причем Н и К — подгруппы в G. Если Н в G имеет конечный индекс и К в Н имеет конечный индекс, то К в G имеет конечный индекс и

Доказательство. Пусть — разложения G по H и H по К. Тогда . Нужно показать, что классы смежности попарно не имеют общих элементов. Если содержат общий элемент, то На. и содержат общий элемент, ибо содержатся в Н. Следовательно, Но тогда что возможно только при Итак, G есть дизъюнктное объединение классов смежности . Их число равно .

Если подгруппа состоит только из одного единичного элемента, то классами смежности являются одноэлементные множества из элементов группы, так что индекс равен порядку группы

Полагая в предложении 8, получим . Это означает, что порядок конечной группы G делится на порядок ее подгруппы Н и частное от их деления равно , т. е. индексу Н в G. (Эту важную теорему легко доказать непосредственно, без ссылки на предложение 8, прямо из разложения группы по подгруппе и того, что число элементов в любом классе смежности одинаково и равно порядку подгруппы.)

Наряду с левыми классами смежности можно рассматривать правые классы смежности и для них тоже справедлива теорема о разложении группы по подгруппе. Между левыми и правыми классами смежности имеется естественное взаимно однозначное соответствие. Именно, отображение — есть взаимно однозначное отображение группы на себя и это отображение переводит левые классы смежности в правые. Действительно, левый класс На состоит из элементов при и обратные элементы заполняют правый класс смежности . Поэтому если для группы Н имеется конечное число левых классов смежности, то столько же будет и правых, так что определение индекса подгруппы при помощи левых или правых классов смежности дает одно и то же.

6. Циклические группы.

Группа, составленная положительными и отрицательными степенями одного элемента а, называется циклической группой. Говорят, это элемент а порождает такую группу. Ясно, что элемент тоже можно считать порождающим. Элементы могут быть все попарно различны. В этом случае группа называется бесконечной (или свободной) циклической. Примером свободной циклической группы может служить группа целых чисел относительно сложения. Любая свободная циклическая группа ей изоморфна, изоморфизм задается соответствием ибо при умножении степеней элемента а показатели складываются.

Но возможно, что среди элементов циклической группы имеются равные. Если при , то так что в этом некоторая степень с натуральным показателем порождающего элемента равна 1.

Наименьший натуральный показатель обладающий этим свойством, называется порядком элемента а. Если порядок равен числу , то среди элементов нет равных, ибо если бы нашлись равные, то разность показателей дала бы натуральный показатель, меньший чем , обращающий степень а в единицу. Всякий же элемент равен одному из именно, , где — остаток от деления на . Таким образом, порядок группы, порожденной элементом порядка тоже равен .

7. Циклические подгруппы группы.

Пусть G — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если G — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы G делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку порождающего элемента. Таким образом, верна следующая важная теорема.

Теорема 9. Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Пусть G — конечная группа порядка m и а — некоторый ее элемент порядка k. Тогда при целом и Следовательно, верно следующее предложение.

Предложение 10. Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу.

Это предложение не потребовало для своего доказательства особенно глубоких соображений. Однако из него непосредственно следует такой, казалось бы, нетривиальный факт, как теорема Эйлера. Действительно, примитивные классы вычетов по модулю m образуют группу относительно умножения и порядок этой группы равен значению функции Эйлера. Следовательно, для любого примитивного класса а имеет место равенство или, на языке сравнений, . Заметим, что при доказательстве теоремы Эйлера в гл. I мы использовали коммутативность умножения, в то время как в предложении 10 коммутативность группы не предполагается.