11. Каноническая форма матрицы оператора.

Как мы видели выше, для упрощения матрицы оператора целесообразно разложить пространство в прямую сумму инвариантных подпространств и взять в качестве базиса объединение базисов прямых слагаемых. Тогда матрица примет блочно-диагональный вид с блоками равными матрицам ограничений оператора на прямые слагаемые.

В качестве прямых слагаемых следует взять примарные циклические подпространства. Если в примарном циклическом пространстве с минимальным полиномом где — неприводимый полином степени k, взять в качестве базиса и, , где u — порождающий пространство вектор, мы получим в качестве матрицы оператора матрицу, сопровождающую полином . Если это сделать в каждом примарном циклическом слагаемом, матрица оператора станет блочно-диагональной, состоящей из полиномов, сопровождающих минимальные полиномы примарных циклических слагаемых. Эту форму матрицы оператора назовем грубой канонической формой.

Более полно отражает строение примарного циклического пространства форма матрицы в базисе:

Если

при i, не делящемся на

В этом базисе матрица оператора М состоит из диагональных блоков, каждый из которых равен сопровождающей полином матрице, «связанных» единичками, примыкающими снизу и слева к соседним блокам. (Эти единички возникают из первых слагаемых в выражениях через базис.)

Если осуществить такой выбор базиса во всех примарных циклических пространствах, мы получим форму матрицы, которую назовем общей канонической формой. Она лучше грубой формы тем, что в ней участвуют сопровождающие матрицы для самих неприводимых полиномов, а не для их степеней.

Общая каноническая форма принимает особо простой вид в случае, если характеристический полином разлагается на линейные множители, так что минимальные полиномы примарных циклических слагаемых имеют вид .

В этом случае сопровождающая матрица для полинома есть матрица первого порядка X, и каноническая матрица на примарном циклическом пространстве имеет вид

Такая матрица называется каноническим блоком Жордана. Матрица оператора на всем пространстве примет вид блочно-диагональной матрицы, составленной из блоков Жордана. Такая матрица называется канонической матрицей Жордана.

Диагональные элементы канонических блоков являются корнями характеристического полинома, и каждый корень может входить в несколько блоков. Ясно, что кратность корня характеристического полинома равна сумме порядков блоков Жордана с этим корнем на диагонали.

В частности, если характеристический полином не имеет кратных корней, то порядки всех блоков Жордана равны 1 и каноническая матрица оператора принимает особо простой вид , где — корни характеристического полинома.

Вместо общей канонической формы матрицы оператора на примарном циклическом пространстве иногда оказывается удобной так называемая блочно-жорданова форма. В этой форме по диагонали расположены блоки из сопровождающей матрицы неприводимого полинома, но блоки «связаны» не единичками, как в общей форме, а единичными матрицами, например, матрица имеет вид:

Можно доказать, что если неприводимый полином сепарабелен, т. е. не имеет кратных корней ни в каком расширении основного поля, то матрица оператора на примарном циклическом пространстве с минимальным полиномом может быть приведена к блочно-жордановой форме.

Мы не будем это доказывать в столь общей ситуации. Но сепарабельность здесь существенна. Чтобы это продемонстрировать, рассмотрим пример. Пусть . Полином очевидно, неприводим в поле К, так как если бы он был приводим, то раскладывался бы и в кольце полиномов что не имеет места. Он не сепарабелен, ибо его производная равна нулю. Его сопровождающая матрица есть циклическом пространстве с минимальным полиномом общая каноническая форма есть

а блочно-жорданова

Нетрудно проверить, что над полем К не существует преобразования подобия, переводящего Л в В. С этой целью следует рассмотреть систему шестнадцати линейных однородных уравнений с шестнадцатью неизвестными, именно, элементами матрицы С, такой что

Из рассмотрения этой системы нетрудно получить (учитывая, что характеристика поля К равна 2), что первые две строки матрицы С состоят из нулей, так что невырожденной матрицы, удовлетворяющей уравнению не существует.

Конечно, неприводимые несепарабельные полиномы могут существовать только над полями с ненулевой характеристикой. Для полей характеристики 0, в частности для числовых полей, неприводимых несепарабельных полиномов не существует.