2. Умножение матриц, разбитых на клетки.

Пусть матрица разбита на части горизонтальными и вертикальными линиями, идущими через всю матрицу. Получившиеся части называются блоками или клетками, а исходная матрица называется блочной или клеточной. Блочную матрицу можно рассматривать как матрицу, элементами которой являются матрицы.

Оказывается, что основные действия над клеточными матрицами можно производить по тем же правилам, что и над матрицами из чисел (или из элементов данного поля). Но, разумеется, должны быть выполнены надлежащие требования на разбиения, чтобы все нужные действия имели смысл.

Если А и В — две матрицы одинакового строения и они разбиты на клетки одинаковым образом, то их можно складывать по клеткам. Это очевидно. Пусть теперь А есть -матрица, В есть - матрица, . Матрица А разбита на клетки s, так, что ширины горизонтальных полос (в числе ) безразличны, вертикальные же полосы имеют ширины соответственно В разбита на клетки ширины горизонтальных полос которых равны ширины вертикальных (в числе q) безразличны. Матрицу С разобьем, на клетки так, что горизонтальные полосы по ширине такие же, как соответствующие Горизонтальные полосы матрицы А, а вертикальные полосы — как соответствующие вертикальные полосы матрицы В. В этих предположениях имеет смысл при любых

Для доказательства рассмотрим два крайних случая. Сначала допустим, что матрица А разбита только на горизонтальные полосы матрица В — только на вертикальные полосы В и и матрица С — соответственно на полос по горизонтали и q полос по вертикали. В этом случае субматрица матрицы С есть произведение полосы на полосу

Теперь допустим, что А разбита только на вертикальные полосы щирины соответственно и В разбита только на горизонтальные полосы ширины соответственно. В этой ситуации матрица С на клетки не разбивается. Имеем:

Слагаемые в скобках суть элементы в позиции матриц . Поэтому .

Справедливость общего утверждения теперь получается непосредственно. Сначала нужно разбить А на горизонтальные полосы и В на вертикальные. Соответствующие клетки матрицы С равны произведениям горизонтальных полос матрицы А на вертикальные полосы матрицы В. Каждое такое произведение вычисляется согласно второму частному случаю как сумма произведений клеток матрицы А, на которые разбиты горизонтальные ее полосы, на клетки матрицы В, на которые разбиты ее вертикальные полосы.