Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Теорема о тождестве.

Если А — область целостности, содержащая бесконечно много элементов, то верна следующая теорема о тождестве.

Теорема 2. Если два полинома равны тождественно в А (т. е. принимают одинаковые значения при одинаковых наборах значений букв), то они равны формально.

Для доказательства достаточно установить справедливость леммы:

Лемма. Если полином тождественно равен нулю в А (т. е. все его значения равны нулю), то он равен нулю формально.

Действительно, достаточно перейти от многочленов к их разности

Доказательство леммы. Мы докажем равносильное лемме предложение: если полином Н формально отличен от нуля, то найдутся значения для букв при которых Н принимает значение, отличное от нуля.

Применим метод математической индукции по числу букв т. При теорема была доказана. Пусть . Запишем как полином от с коэффициентами из

Можно считать, что . В силу индуктивного предположения для найдется набор значений такой, что . Тогда

при . В силу теоремы для найдется такое, что

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление