2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена.

Пусть — данный линейный двучлен.

Предложение 19. Полином, f может быть разложен по степеням

Доказательство. Проведем индукцию по степени с тривиальной базой полиномов нулевой степени. Разделим f на с с остатком. Получим

где — остаток, полином степени . В силу индуктивного предположения

откуда

Приведенное доказательство дает и процесс для вычисления коэффициентов. Свободный член разложения дается как остаток от деления f на . Рассуждение по индукции заменяет единообразный процесс, так что есть остаток при делении неполного частного на и вычисление последующих коэффициентов требует вычисления неполного частного при делении на . Далее, находится как остаток при делении на и т. д. Итак, нужно делить на полином f и последующие неполные частные. Остатки дадут коэффициенты разложения, начиная со свободного члена. Деление целесообразно выполнять, пользуясь схемой Хорнера, рассмотренной на стр. 58.

Пример. Разложим полином по степеням Согласно схеме Хорнера запишем:

Остатки подчеркнуты. Таким образом,

В случае поля нулевой характеристики можно дать удобную для теоретических рассуждений формулу для коэффициентов разложения.

Выведем эту формулу.

Пусть (нам удобно записать по возрастающим степеням

Возьмем производные до порядка включительно (дальнейшие все равны нулю):

Положим во всех этих равенствах . Получим ,

откуда

и разложение принимает вид

Эта формула называется формулой Тейлора.

Для приближенного вычисления корней полинома бывает нужно вычислять при значении с, близком к корню. Ясно, что выполнить это проще всего при помощи схемы Хорнера, вычислив по этой схеме два коэффициента разложения f по степеням

Пример. Для полинома вычислить Применяем схему Хорнера:

Итак, f