13. Полуобратные линейные отображения.

Пусть - любое отображение пространства S в пространство Т. Положим и обозначим через какое-либо подпространство, дополняющее Р до S, т. е. такое, что . Положим и пусть Q — какое-либо подпространство, дополняющее до Т, т. е.

Тогда отображает на То, ибо векторы из Р отображаются на нулевой вектор. Ядро этого отображения состоит только из нулевого вектора, ибо и Р пересекаются только по 0. Поэтому ограничение оператора на имеет обратный оператор определенный на подпространстве пространства Т.

Пусть есть продолжение на все пространство Т, отображающее векторы из Q в нулевой вектор пространства S. Ясно, что есть линейный оператор, действующий из Т в

Он называется полуобратным для Разумеется, зависит от выбора подпространств

Для подпространство Q является ядром и — образом.

Подпространство составляет прямую сумму, равную Т, с ядром Q оператора и подпространство Р дополняет образ оператора до пространства S.

Таким образом, поменяв ролями , мы можем построить Ясно, что

Оператор отображает в . Если при , то Таким образом, отображает любой вектор z из S на его составляющую в разложении . Оператор проектирует векторы из на подпространство параллельно подпространству Р.

Соответственно, оператор отображающий Т в Т, проектирует векторы из Т на подпространство параллельно

Полуобратный оператор обладает свойством Действительно, если , то ибо и отличаются слагаемым из ядра . Это верно для любого , следовательно, . Соответственно,

Предложение 15. Если оператор из S в Т и оператор из Т в S связаны соотношениями то по отношению к некоторым прямым разложениям пространств S и Т.

Доказательство. Из следует, что есть идемпотентный оператор из в . Следовательно, он является оператором проектирования. Обозначим через подпространство, на которое проектирует S, и через Р — подпространство, параллельно которому происходит проектирование. Проверим, что Действительно, если , то так что Обратное включение тривиально. Из того же соотношения заключаем что — идемпотентный операториз Г в Г т. е. оператор проектирования. Введем обозначения То и Q для образа и ядра Операторы и осуществляют взаимно обратные отображения подпространств ибо действует на как единичный оператор, действует таким же образом на . Остается доказать, что Q аннулируется оператором . Здесь используется соотношение . Действительно, при будет ибо

Для операторов, действующих из S в S, тоже можно определить полуобратные операторы, исходя из двух, вообще говоря, различных разложений S в прямую сумму подпространств, одно разложение другое

Имеется ситуация, когда эти разложения можно взять одинаковыми. Именно, если подпространства пересекаются только по нулевому вектору. Это значит, что если , то . Тогда и и т. д. — все отличны от нулевого вектора. Таким образом, поставленному ограничению можно дать такую формулировку: из при должно следовать, что

Взяв в этом случае разложение , т. e. положив придем к полуобратному оператору , для которого равны, именно, равны оператору проектирования на параллельно Р.