§ 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду

1. Пространство точек.

Пусть дано векторное пространство S. Пространством точек для S называется однородное пространство М для аддитивной группы пространства S с нулевыми стабилизаторами для всех точек М (заметим, что, в силу коммутативности группы, стабилизаторы всех точек совпадают).

Подробнее, М есть множество объектов, называемых точками, для которых определено действие сдвига на вектор, переводящее точку в точку.

Записывая эту операцию знаком мы придем к следующим свойствам этой операции:

1. , где .

2. , где — нулевой вектор.

3. Для любых точек из М найдется такой вектор что

4. Если , то

Первые два требования означают, что М есть множество, на котором определено действие «сдвига» на векторы из S, т. е. М есть множество (здесь обозначает аддитивную группу пространства S). Третье условие означает однородность М как -множества. Наконец, четвертое, — что стабилизаторы всех точек состоят только из 0.

Зафиксировав некоторую точку то в М, мы можем сопоставить каждой точке из М вектор, переводящий то в . Этот вектор назовем координатным вектором для при выбранном начале координат Соответствие между точками и их координатными векторами взаимно однозначно. Началу координат соответствует нулевой вектор.

Если изменить начало координат, перенеся его на вектор в точку то координатные векторы любой точки относительно начал то и то связаны очевидным соотношением

Выбор начала координат в пространстве точек и выбор базиса в векторном пространстве 5 дает возможность сопоставить каждой точке ее координаты, именно, координаты координатного вектора точки относительно выбранного базиса.

Если S — евклидово пространство, то соответствующее пространство точек называется евклидовым. Координаты точек относительно некоторого начала и ортонормального базиса в носят название прямоугольных координат. Преобразование координат при фиксированном начале, но с переходом от одного ортонормального базиса S к другому, называется преобразованием поворота осей. В дальнейших пунктах этого параграфа пространство точек будет предполагаться евклидовым.

2. Алгебраические гиперповерхности.

Множество всех точек в пространстве, координаты которых связаны соотношением , где F — полином с вещественными коэффициентами, называется алгебраической гиперповерхностью. Степень полинома F называется степенью или порядком гиперповерхности.

Гиперповерхности первой степени называются гиперплоскостями.

В векторной форме уравнение любой гиперплоскости можно записать в виде , где b — некоторый ненулевой вектор, — координатный вектор точки. Без нарушения общности можно считать вектор b нормированным. Тогда уравнение называется нормальным уравнением гиперплоскости.

Если уравнение гиперповерхности в -мерном пространстве имеет вид при то координаты остаются произвольными. В этом случае говорят, что гиперповерхность является цилиндрической гиперповерхностью с -мерными образующими, построенной на гиперповерхности с тем же уравнением, в -мерном подпространстве, натянутом на первые k базисных векторов, исходящих из начала координат.

3. Гиперповерхности второго порядка.

В векторной форме уравнение гиперповерхности второго порядка можно записать в виде

где М — самосопряженный оператор, вектор и с — число. Действительно, в виде записывается квадратичная форма, составленная из членов второй степени полинома, является записью суммы членов первой степени, наконец, с — свободный член.

Выясним, как изменяется уравнение при переносе начала координат. Пусть — координатный вектор при исходном начале координат, у — координатный вектор при новом начале и 0 — координатный вектор нового начала относительно исходного. Тогда, подставив в уравнение поверхности, получим, как легко видеть, преобразованное уравнение в виде

Если уравнение разрешимо, то за счет переноса начала можно в уравнении уничтожить первые степени координат. Если же уравнение не имеет решений, то этого достигнуть нельзя. Таким образом, нужно рассмотреть два случая, в зависимости от разрешимости или неразрешимости уравнения

4. Первый случай гиперповерхности второго порядка.

Пусть уравнение разрешимо. Тогда, сдвинув начало координат на вектор придем к уравнению

где

Теперь сделаем поворот осей, приняв за базис пространства векторов ортонормальный базис из собственных векторов оператора М. Пусть этот базис образован векторами причем принадлежат ненулевым собственным значениям принадлежат нулевому собственному значению.

Обозначив через координаты вектора у в этом базисе, получим уравнение гиперповерхности в виде

Если , то гиперповерхность будет цилиндрической с -мерными образующими, построенной на гиперповерхности с уравнением в -мерном подпространстве. Если то поверхность коническая, именно, если точка с координатным вектором у лежит на поверхности, то и прямая, проходящая через начало координат и точку т. е. множество точек с координатными векторами целиком лежит на гиперповерхности. Если при этом одного знака, то конус вырождается в одну точку — начало координат. Конусы классифицируются по максимальному числу коэффициентов одного знака.

Если же с то, разделив обе части уравнения на , придем к уравнению

Если все коэффициенты а отрицательны, то на гиперповерхности нет точек. Если все коэффициенты положительны, то для координат точек на гиперповерхности имеют место неравенства так что гиперповерхность ограничена. В этом случае гиперповерхность в -мерном пространстве носит название эллипсоида или, в случае сферы радиуса

Если же среди коэффициентов имеются как положительные, так и отрицательные, то гиперповерхности (в -мерном пространстве) носят название гиперболоидов. Гиперболоиды классифицируются по числу отрицательных коэффицеинтов а.

Конусы, эллипсоиды, гиперболоиды и построенные на них цилиндрические гиперповерхности носят название центральных, так как начало координат после преобразования к каноническому виду оказывается центром симметрии. Действительно, точки с координатными векторами у и одновременно принадлежат или не принадлежат гиперповерхности.

5. Второй случай гиперповерхности второго порядка.

Пусть теперь уравнение не разрешимо. Это возможно, только если размерность образа оператора меньше , т. е. оператор имеет нетривиальное ядро и среди его собственных значений имеется число 0.

Напомним, что для самосопряженного оператора образ и ядро ортогонально дополнительны. Образ есть подпространство, натянутое на собственные векторы оператора, принадлежащие ненулевым собственным значениям, а ядро состоит из собственных векторов, принадлежащих собственному значению 0.

Разобьем вектор b на два слагаемых, , из которых первое принадлежит образу оператора второе — его ортогональному дополнению, т. е. ядру.

В рассматриваемом случае . Тогда уравнение разрешимо, и все его решения получаются из частного решения добавлением произвольного вектора из ядра оператора М. Если при z из ядра, то . Таким образом, для любого решения уравнения число остается неизменным.

Будем искать вектор сдвига начала в виде при вещественном t. Так как принадлежит ядру М, будут иметь место равенства . После такого сдвига начала уравнение примет вид

Слагаемое в левой части исчезает. Далее, ортогональны; Таким образом, уравнение принимает вид

Если взять

то уравнение примет вид

Пусть , где v — нормированный вектор. При этом уравнение примет вид

Теперь сделаем поворот осей, приняв за новый базис нормированные собственные векторы принадлежащие ненулевым собственным значениям . оператора М, и нормированные собственные векторы принадлежащие нулевому собственному значению, включив в их число вектор v. Пусть

Уравнение в новых координатах примет вид

Гиперповерхности с такими уравнениями (в -мерном пространстве) носят название параболоидов, причем эллиптических, если все одного знака, и гиперболических, если среди имеются числа противоположных знаков. Гиперболические параболоиды классифицируются по максимальному числу собственных значений одного знака.