2. Модуль и аргумент комплексного числа.

Введем в рассмотрение полярные координаты точки, изображающей комплексное число а, принимая начало координат за полюс и вещественную ось за полярную ось (рис. 2). Как известно, полярными координатами точки являются длина ее радиус-вектора, равная расстоянию от точки до полюса, и величина ее полярного угла, образованного положительным направлением полярной оси и радиус-вектором рассматриваемой точки. Длина радиус-вектора точки, изображающей комплексное число а, называется модулем этого числа и обозначается Ясно, что причем только, если

Величина полярного угла точки, изображающей комплексное число а, называется аргументом этого числа и обозначается . Заметим, что имеет смысл лишь при аргумевгг числа 0 смысла не имеет.

Рис. 2.

Положительным направлением отсчета аргумента комплексного числа считается направление от положительной полуоси вещественной оси к положительной полуоси мнимой оси, т. е. против часовой стрелки при обычном расположении осей.

Аргумент комплексного числа определен не однозначно, так как угол между двумя направлениями (даже если выбрано положительное направление отсчета) можно отсчитывать многими способами. Уточним характер многозначности аргумента. Пусть — наименьшее значение аргумента, отсчитанное в положительном направлении. Сделав при отсчете несколько полных оборотов в положительном направлении, мы придем к значению аргумента где k — число полных оборотов, т. е. целое неотрицательное число.

Простейший отсчет в отрицательном направлении дает, очевидно, значение аргумента (рис. 3). Если же сделать еще s полных оборотов в отрицательном направлении, мы придем к значению . Тем самым все возможные значения аргумента даются формулой: где k — любое целое число, положительное, отрицательное или 0. Таким образом, данному комплексному числу, не равному 0, можно соотнести в качестве аргумента бесконечное множество чисел, правда, очень просто связанных между собой, именно, любые два значения аргумента отличаются на целое кратное .

Рис.

Разумеется, многозначности аргумента можно было бы избежать, наложив на аргумент какие-либо требования, выделяющие одно значение из всех возможных, например, или . Однако это оказывается неудобным, особенно при изучении функций от комплексной переменной. Пусть, например, комплексное число изменяется так, что его изображение описывает в положительном направлении окружность с центром в начале координат, начиная, например, с точки i и возвращаясь в ту же точку (рис. 4). Если бы мы наложили ограничения на аргумент: нам пришлось бы считать, что при подходе к точке 1 аргумент скачком переходит от значений, сколь угодно близких к , к значению 0, и это неестественно. Естественно считать, что аргумент изменяется непрерывно, но когда возвращается в исходную точку, его аргумент получает приращение, равное

Рис. 4.

Впредь, говоря об аргументе комплексного числа, мы будем подразумевать какое-либо его значение, безразлично какое. Если же возникает необходимость выбирать определенное значение, это приходится делать при помощи надлежащего описания (например, «возьмем наименьшее неотрицательное значение аргумента»),