§ 7. Свободные произведения групп

1. Определение.

Пусть даны группы . Составим слово из произвольных элементов групп в любом порядке. Для таких слов введем действие удлинения, заключающееся во вставке в любое место единицы любой группы и в замене какого-либо элемента в слове равным ему произведением двух элементов той же группы.

Вставку единицы можно рассматривать как частный случай замены элемента произведением, если отождествить единицы всех групп. Тогда вставка единицы равносильна замене левого соседнего элемента а на или правого соседнего b на . Обратные операции — выбрасывание единицы и замена рядом стоящих элементов одной и той же группы их произведением — назовем сокращением. Два слова будем считать эквивалентными, если возможен переход от одного к другому посредством конечного числа удлинений и сокращений. Все слова разбиваются на классы эквивалентных. Ясно, что эквивалентность сомножителей влечет эквивалентность их произведений. Это позволяет определить умножение классов эквивалентных слов. Умножение ассоциативно, роль единицы играет пустое слово (или слово, составленное из единицы, которая отождествлена с единицами всех групп). Для каждого класса существует обратный, так что классы эквивалентных слов образуют группу. Эта группа называется свободным произведением групп .

Слово называется несократимым, если в его составе нет единиц и нет соседних элементов из одной группы.

Теорема. В каждом классе эквивалентных слов имеется одно и только одно несократимое слово.

Доказательство. Для построения из данного слова несократимого достаточно выкинуть единицы и умножить рядом стоящие элементы из одной группы.

Остается доказать, что неравные несократимые слова не эквивалентны. Это мы докажем подобно доказательству аналогичного утверждения для свободной группы. Пусть А и В — различные несократимые слова, и пусть — последовательность слов, в которых последующее получается из предыдущего посредством удлинения или сокращения. Переход от к А, может быть только удлинением, переход от может быть только сокращением. Сумму длин слов назовем полной высотой перехода. Пусть слово наибольшей длины. Оно не может быть крайним, так что у него есть два соседних Переход от к - должен быть удлинением, от — сокращением.

Могут представиться следующие случаи.

1. При переходе от к - элемент b заменили на произведение элементов той же группы, а при переходе от , к заменили на b. Ясно, что в этом случае , можно исключить из перехода, а — «склеить». Полная высота перехода уменьшится.

2. При переходе от к - элемент b заменили на произведение а при переходе от - к соединили с предшествующим элементом а из той же группы. Это значит, что в слове была последовательность букв и в слове вместо нее появилась последовательность букв где

Переход от можно было сделать иначе — сперва сократить, соединив а и b, а потом удлинить, вставив вместо произведения равное ему произведение Промежуточное слово будет короче на 2, так что полная высота уменьшится.

Аналогично рассматривается случай, когда после замены b на элемент соединяется со следующим элементом, который должен принадлежать той же группе.

3. При переходе от к заменили элемент b на произведение а при переходе от заменили на их произведение с в другом месте, не затрагивая элементов . В этом случае для перехода от можно было сперва заменить на с, а потом заменить b на Промежуточное слово А короче слова на 2. Полная высота перехода тоже уменьшилась.

Итак, при переходе от несократимого слова А к несократимому слову В всегда можно уменьшить полную высоту перехода. Мы получили противоречие, ибо безграничное уменьшение полной высоты невозможно. Таким образом, несократимые слова не могут быть эквивалентны и могут служить каноническими представителями классов, т. е. удобной записью элементов свободного произведения групп.

2. Пример.

Рассмотрим свободное произведение двух циклических групп второго порядка с образующими а и b.

Несократимые слова состоят из чередующихся букв а и b. Положим . Тогда , так что с порождает свободную циклическую группу. Элементы а и с являются образующими, ибо Далее, Таким образом, свободное произведение двух циклических групп второго порядка изоморфно группе примера 2 предыдущего пункта.

Эта группа имеет простую геометрическую интерпретацию. Возьмем на плоскости две параллельные прямые Обозначим через а отражение относительно первой прямой и через b — отражение относительно второй прямой. Ясно, что Отражение а переводит точку с абсциссой в точку с абсциссой отражение b преобразует Следовательно, преобразование переводит есть сдвиг на с. Группа сдвигов на кратные с есть свободная циклическая группа. Поэтому все произведения чередующихся букв а и b различны, т. е. группа, порожденная отражениями от двух параллельных прямых, есть свободное произведение двух циклических групп второго порядка.