5. Алгебраические дополнения и миноры.

Пусть дан определитель

Рассмотрим определитель

матрица которого получается из матрицы исходного определителя посредством замены элемента на 1 и всех остальных элементов строки и столбца на нули.

Так построенный определитель называется алгебраическим дополнением элемента . Для него принято обозначение . Заметим, что не зависит от элементов строки и столбца исходного определителя.

9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения.

Для доказательства запишем данный определитель в виде

где каждый элемент строки имеет слагаемых. Теперь воспользуемся свойством линейности.

Определитель равен сумме следующих определителей:

В каждом из них вынесем в качестве множителя ненулевой элемент строки:

Теперь вычтем из первой строки первого определителя умноженную на из второй — умноженную на из вычтем умноженную на Все элементы не изменятся, кроме элементов первого столбца, которые заменятся на нули. Поэтому первый определитель равен

Аналогично, остальные определители равны соответствующим алгебраическим дополнениям, так что действительно

Это свойство носит название разложения определителя по элементам строки. Разумеется, существуют аналогичные разложения элементам столбцов.

Следующие два свойства являются непосредственными следствиями из разложения по элементам строки.

10. Пусть в определителе выбрана строка с номером i и даны чисел Сумма произведений этих чисел на алгебраические дополнения элементов строки равна определите :

Действительно,

где — алгебраические дополнения элементов строки этого определителя. Но алгебраические дополнения не зависят от элементов строки, так что они совпадают с алгебраическими дополнениями исходного определителя.

11. Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю (свойство ортогональности строк и алгебраических дополнений).

Действительно, пусть дан определитель

Тогда, по предыдущему свойству,

ибо получился определитель с двумя одинаковыми строками.

Следующее свойство касается вычисления алгебраических дополнений.

Минором порядка для данного определителя называется определитель матрицы, получающейся из матрицы исходного определителя посредством вычеркивания одной строки и одного столбца. Минор, получающийся вычеркиванием строки и столбца, содержащих обозначается через

12. Алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора лишь на множитель пли в зависимости от того, четно или нечетно число

При доказательстве рассмотрим два случая. Сначала положим

Согласно определению

причем нужно положить при при . Поэтому в сумме нужно сохранить только слагаемые при пробегающей все перестановки чисел , причем положить . Получаем

Ясно, что ибо 1 на первом месте не образует инверсий с другими элементами. Поэтому

Для того чтобы установить последнее равенство, достаточно воспользоваться определением определителя для учитывая, что вторые индексы на единицу больше номеров столбцов в этом определителе, так что равно числу инверсий в номерах столбцов. Итак,

Теперь пусть i и k любые:

Переместим 1 в левый верхний угол, сохранив порядок остальных строк и столбцов. С этой целью поменяем местами строку последовательно со всеми предыдущими, а затем то же сделаем с столбцом. Определитель при этом приобретет множитель , так что

В силу рассмотренного ранее случая заключаем, что

что и требовалось доказать.