3. Правильные рациональные дроби.

Вернемся к изучению рациональных дробей от одной буквы. Рациональная дробь может быть записана в форме многими способами. Однако всегда можно перейти к несократимой записи — со взаимно, простыми числителем и знаменателем. Для этого достаточно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократить на него. Далее, старший коэффициент знаменателя можно вынести и присоединить к числителю, после чего знаменатель можно считать нормализованным. Несократимая запись дроби с нормализованным знаменателем называется нормализованной записью дроби, или нормализованной дробью. Две нормализованные дроби равны, только если равны их числители и знаменатели, т. е. совпадают по записи. Действительно, если - равенство двух нормализованных дробей, то . Полином взаимно прост с в силу несократимости и, следовательно, делится на .

Аналогично, делится на , т. е. они ассоциированы. Так как их старшие коэффициенты равны 1, они совпадают; следовательно, совпадают

Рациональная дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени знаменателя. Если дробь правильная в некоторой записи, то она остается правильной в несократимой записи, так как при сокращении степени числителя и знаменателя уменьшаются на одно и то же число, а значит, и во всякой другой записи, ибо любая запись получается из несократимой посредством умножения числителя и знаменателя на один и тот же полином. Предложение 1. Любая рациональная дробь есть сумма полинома и правильной дроби.

Действительно, пусть — данная дробь. Поделим на с остатком: . Тогда

Здесь q — полином (он может равняться 0, если , а правильная дробь.

Предложение 2. Сумма, разность и произведение правильных дробей есть правильная дробь.

(Здесь имеется существенное отличие от арифметики рациональных чисел, где, например,

Доказательство. Пусть дроби — правильные. Они останутся правильными и при записи и . Степени обоих слагаемых в числителе меньше степени знаменателя, следовательно, степень числителя меньше степени знаменателя. Для произведения имеем

Таким образом, правильные дроби образуют кольцо. Оно не содержит 1.