Научная библиотека

4. Разложение рациональной дроби на простейшие.

Предложение 3. Если знаменатель правильной рациональной дроби есть произведение двух взаимно простых полиномов, то дробь представляется в виде суммы двух правильных дробей со знаменателями, равными сомножителям знаменателя исходной дроби, т. е. причем обе дроби в правой части правильные. Такое представление единственно.

Доказательство. Так как взаимно просты, найдутся полиномы такие, что . Тогда

В этом разложении слагаемые правой части, вообще говоря, не являются правильными дробями. Поделим полином на с остатком: так что

Присоединим q к первому слагаемому. Получим Здесь первое слагаемое автоматически оказывается правильной дробью как разность правильных дробей Итак, и оба слагаемых в правой части равенства — правильные дроби.

Остается доказать единственность. Пусть

причем все дроби правильные. Тогда

Левая часть делится на и полином взаимно прост с Поэтому делится на , что возможно только при ибо степень меньше степени Итак, и, следовательно, Предложение доказано полностью.

Теперь обобщим это предложение.

Предложение 4. Если знаменатель g правильной рациональной дроби есть произведение нескольких попарно взаимно простых полиномов, дробь представляется в виде суммы — правильных дробей и такое представление единственно.

Доказательство проведем индукцией по числу сомножителей. База индукции есть при Далее, и полиномы взаимно просты. Поэтому

Ко второму слагаемому применяется индуктивное предположение.

Разложение единственно по предложению 3, и разложение единственно по индуктивному предположению. Следовательно, разложение — единственно.

Полином имеет каноническое разложение на неприводимые множители о соответствии с этим правильная рациональная дробь раскладывается на сумму правильных дробей со знаменателями Эти дроби носят название примарных.

Действительно, пусть дробь (в нормализованной записи) есть , где — попарно различные нормализованные неприводимые полиномы. Тогда они попарно взаимно просты и их степени тоже попарно взаимно просты. Применение предложения 4 дает требуемое разложение:

Оно единственно в силу предыдущих предложений.

Примарная дробь называется простейшей, если ее числитель есть полином, степень которого меньше степени, неприводимого полинома, входящего в знаменатель.

Предложение 5. Любая правильная примарная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

Доказательство. Пусть — данная примарная правильная дробь. Поделим на с остатком: . Тогда . Такое представление единственно, ибо если при , то , т. е. есть остаток деления на — неполное частное. Выделив остаток от деления на получим Продолжая процесс, придем к правильной дроби которая является простейшей. Итак,

Единственность разложения очевидна, в силу единственности на каждом шагу процесса.

Теорема 6. Правильная рациональная дробь из поля может быть представлена в виде суммы простейших дробей, и такое представление единственно.

Действительно, всякая правильная дробь из единственным образом представляется в виде суммы правильных примарных дробей и каждая правильная примарная дробь представляется в виде суммы простейших. Если знаменатель исходной дроби имеет каноническое разложение то знаменателями простейших дробей будут