8. Ранг матрицы в терминах определителей.

Напомним, что если в некоторой матрице выбрать несколько строк и несколько столбцов, то элементы, находящиеся в пересечениях выбранных строк и столбцов, составляют матрицу, называемую субматрицей для исходной. Определители квадратных субматриц носят Название миноров исходной матрицы.

Теорема 13. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров.

Доказательство. Пусть ранг матрицы равен k. Тогда в любом миноре порядка k + 1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки, и все такие миноры равны нулю. Далее, в матрице имеется базисная совокупность из k строк и базисная совокупность из k столбцов. Рассмотрим субматрицу, образованную элементами из этих строк и столбцов. Ее строки линейно независимы, ибо иначе, в силу предложения 4, соответствующие полные строки исходной матрицы были бы линейно зависимы. Следовательно, определитель порядка k так выбранной субматрицы отличен от нуля.