ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

Изучение свойств целых чисел составляет содержание раздела математики, имеющего название «арифметика» или «теория чисел». Обычно первый термин относится к кругу самых элементарных вопросов, в основном, к правилам вычислений с целыми числами, а второй — к установлению более глубоких и нетривиальных свойств целых чисел. Цель этого раздела курса — познакомить читателя с самыми простыми идеями и фактами теории чисел.

§ 1. Теория делимости целых чисел

1. Определение делимости и простейшие свойства этого отношения.

Множество всех целых чисел принято обозначать Z. Множество Z состоит из натуральных, т. е. целых положительных чисел 1, 2, 3, ..., числа 0 и целых отрицательных чисел —1, —2, —3, ... Ясно, что сумма, разность и произведение двух целых чисел суть снова целые числа. Частное же от деления двух целых чисел может и не быть целым числом. Говорят, что целое число а делится на целое число b, если существует такое целое число с, что Другими словами, а делится на b, если их частное с снова есть целое число. То же отношение делимости а на b может быть выражено другими равнозначными терминами: b делит а; b — делитель а есть кратное для b. Из определения делимости ясно, что число О делится на любое целое число, в том числе и на 0, но ни одно целое число, отличное от нуля, на нуль не делится. Ясно также, что любое целое число а делится на а, —а, 1 и -1. Эти числа называются несобственными, или тривиальными, делителями числа а. Остальные же делители, если они есть, называются собственными, или нетривиальными.

Запишем теперь в виде предложений (слово «предложение» значит то же, что слово «теорема», — это высказывание, которое должно быть доказано; мы будем пользоваться словом «теорема» только тогда, когда нужно подчеркнуть важность содержания) некоторые простейшие свойства делимости.

Предложение 1. Если два целых числа а и b делятся на целое число с, то их сумма и разность тоже делятся на с.

Доказательство. Имеем где g и h — целые числа, ибо а и b делятся на с. Тогда . Числа целые. Следовательно, числа делятся на с.

Предложение 2. Если целое число а делится на целое число b и k — целое число, то делится на b.

Доказательство. Имеем при целом ибо а делится на b. Тогда . Число целое. Следовательно, делится на b, что и требовалось доказать.

Это предложение можно сформулировать и так: если с делится на а и а делится на b, то с делится на b. Действительно, «с делится на а» значит то же самое, что при целом