ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Определения и простейшие свойства

1. Определение и примеры.

Напомним (стр. 75), что векторным пространством S над полем К называется аддитивно записанная абелева группа, для элементов которой определено действие умножения на элементы поля К, удовлетворяющее требованиям:

где - элементы поля — элементы векторного пространства. Элементы векторного пространства будем называть векторами, элементы поля К для краткости будем называть числами (хотя они могут иметь другую природу).

Примерами векторных пространств над полем R вещественных чисел могут служить множества векторов на плоскости или в пространстве. Другие (уже над любым полем К) примеры — матрицы фиксированного строения, в частности, строки и столбцы с элементами из поля К, полиномы от одной (или нескольких) букв с коэффициентами из поля К, полиномы ограниченной степени с коэффициентами из поля К.

Исследование векторных пространств составляет содержание линейной алгебры.

В приложениях линейной алгебры к другим математическим дисциплинам рассматриваются преимущественно векторные пространства над полями G и R. В теории информации полезными оказываются векторные пространства над конечными полями, особенно над полем из двух элементов.

Отметим еще свойства нуля векторного пространства.

1. . Действительно, Добавив к обеим частям этого равенства элемент, противоположный к получим .

2. . Действительно, откуда

3. Если , то либо либо Действительно, если то существует