5. Обзор действий над матрицами.

Над матрицами определены четыре действия: сложение, умножение на элементы основного поля (или кольца), умножение матрицы на матрицу и транспонирование.

Условие применимости и размеры результата поясняются слег дующими схемами:

Эти действия обладают свойствами:

Это — свойства векторного пространства, так что матрицы фиксированных размеров образуют векторное пространство.

13. Существуют единицы, именно, если , то

Для квадратных матриц фиксированного порядка действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо. Кольцо, наделенное структурой векторного пространства, т. е. система объектов, обладающих свойствами 1—12, называется алгеброй над основным полем. Таким образом, квадратные матрицы с элементами из поля К составляют алгебру над этим полем.

Само поле К изоморфно вкладывается в алгебру квадратных матриц при помоги отображения

В соответствии с тем, что было изложено в гл. III о значениях полинома, в алгебре квадратных матриц естественным образом определяются степени матрицы с натуральными показателями и значения полиномов, именно, если , то . Значения полиномов от одной и той же матрицы коммутируют.