Простейшие свойства векторных пространств.

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть - векторное пространство над полем Тогда

(1) если то

Доказательство. (1) Так как 0 — нуль аддитивной группы пространства , то Поэтому равенство а можно записать в виде По закону сокращения (для групп), отсюда следует

(2) По аксиоме 4 векторного пространства имеем

По свойству (1), отсюда следует, что

(3) По аксиоме (3) векторного пространства,

По свойству (1), отсюда следует равенство

(4) Так как , то равенство а можно записать в виде По закону сокращения (для групп), отсюда следует

(5) При из следует и в силу аксиомы (2),

(6) Так как , то равенство можно записать в виде При а по свойству (5), отсюда следует, что

(7) Прибавив к обеим частям равенства а а получим При по свойству (6), отсюда следует, что