Основная теорема о симметрических полиномах.

Пусть — кольцо полиномов от над областью целостности . Пусть — симметрические полиномы от Любой полином над Ж будем рассматривать как симметрический полином

ТЕОРЕМА 2.7. Всякий симметрический полином из кольца полиномов можно представить в виде полинома над Ж от элементарных симметрических полиномов т. е. для любого существует такой полином что

Доказательство. Пусть f — ненулевой симметрический полином над — его высший член. Полином

— симметрический, как разность симметрических полиномов, причем, по лемме Пусть — высший член полинома . Аналогично, полином

является симметрическим, причем и т. д.

В результате получается убывающая цепочка симметрических полиномов . По лемме 2.6, эта цепочка не может быть бесконечной. Предположим, что она обрывается на шаге, т. е.

Складывая почленно равенства (1), , получим

Это равенство дает искомое представление симметрического полинома в виде полинома над от элементарных симметрических полиномов

Пример:

СЛЕДСТВИЕ 2.8. Пусть полином над числовым кольцом Ж и , где . Если — симметрический полином от с коэффициентами из то .

Доказательство. Из равенства

вытекают следующие формулы (Виета), выражающие связь между корнями и коэффициентами полинома:

Эти равенства можно записать в виде

В силу основной теоремы о симметрических полиномах симметрический полином f из можно представить в виде полинома g от элементарных симметрических полиномов с коэффициентами из , т. е.

Полагая в равенстве и учитывая равенства (1), получим

Кроме того, следовательно,