Подгруппы циклической группы.

Покажем, что всякая подгруппа циклической группы тоже циклическая.

ТЕОРЕМА 3.7. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа.

Доказательство. Пусть — мультипликативная циклическая группа с образующим элементом а. Пусть — подгруппа группы 5. Теорема, очевидно, верна, если Я содержит только один элемент. Предположим, что Я содержит более одного элемента, Подгруппа содержит хотя бы одну положительную степень элемента а, ибо если то . Пусть — элемент из Я с наименьшим положительным показателем степени s. Всякий элемент из Я есть элемент вида . Если , то s делит k. В самом деле, по теореме о делении с остатком (теорема 4.4.4), для чисел k и s существуют такие целые числа q и , что

Ввиду . Так как то в силу выбора числа s значит, . Таким образом, множество состоит из степеней элемента . Следовательно, является циклической группой с образующим элементом