§ 2. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Свойства сложения.

Сложение натуральных чисел удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):

IV. Для каждого из

V. Для любых из

Эти условия дают возможность для любого фиксированного натурального числа вычислить значение суммы последовательно для значений , равных Следовательно, эти условия позволяют найти значение суммы для любых натуральных чисел тип.

Например, пусть Используя условия III, IV и V, можно выписать следующую цепочку равенств:

таким образом,

ТЕОРЕМА 2.1. Сложение натуральных чисел ассоциативно, т. е. для любых натуральных а, b, с

Доказательство. Зафиксируем произвольные натуральные числа а и b. Тогда формула (1) определяет предикат от одной свободной переменной с, обозначим его . Доказательство проводится индукцией по натуральной переменной с.

Базис индукции: А(0) истинно, поскольку верно равенство

Индукционный шаг. Предположим, что для некоторого натурального истинно , т. е. верна формула

и докажем, что тогда истинно , т. е. верна формула

В самом деле,

Согласно принципу индукции, предикат истинен для любого натурального с. Поскольку при доказательстве фиксировались произвольные а и , то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется аддитивным моноидом натуральных чисел.

ЛЕММА 2.2. Для любых натуральных а и b

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по b. Зафиксируем произвольное натуральное число а.

Обозначим через предикат, определяемый формулой (1). Условимся в этой лемме и в дальнейшем в аналогичных случаях говорить, что является и обозначением соответствующей формулы.

Легко видеть, что верна формула

Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

и покажем, что верна формула . В самом деле,

(по аксиоме IV);

(по индуктивному предположению);

(по аксиоме IV).

Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального b. Так как при доказательстве фиксировалось произвольное значение а, то формула (1) верна для любых натуральных а и b.

ТЕОРЕМА 2.3. Сложение натуральных чисел коммутативно, т. е. для любых натуральных а, b

Доказательство проводится индукцией по b. Докажем сначала, что верна формула

Проведем индукцию по о.. Очевидно, формула верна при Далее, если для некоторого натурального числа

то

Следовательно, по принципу индукции, формула А (0) верна для любого а.

Зафиксируем произвольное а. Обозначим через А(b) предикат, определяемый формулой (1). Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

тогда

(по аксиоме IV);

(по индуктивному предположению);

(по аксиоме IV);

(по лемме 2.2),

т. е. верна формула . Согласно принципу индукции, формула верна для любого 6. Поскольку фиксировалось произвольное значение а, то формула (I) верна для любых натуральных а и 6.

ТЕОРЕМА 2.4 (ЗАКОН СОКРАЩЕНИЯ ДЛЯ СЛОЖЕНИЯ). Для любых натуральных а, b, с

Доказательство (проводится индукцией по с; при этом фиксируются произвольные значения а и b). Рассмотрим формулу

Так как , то верно, что

т. е. верна формула А(0).

Предположим, что для некоторого натурального числа

и покажем, что тогда верна формула По аксиоме IV,

Далее, по аксиоме II,

Из того, что и (3) — верные формулы, следует, что верна формула

На основании (2) и (4) заключаем, что верна формула

Согласно принципу индукции, формула А(с) верна для любого натурального с. Так как а и b фиксировались произвольно, утверждение (1) верно для любых натуральных а, b, с.

СЛЕДСТВИЕ 2.5. Для любых натуральных а и b, если то

ТЕОРЕМА 2.6. Для любого натурального числа а либо либо существует такое натуральное число b, что

Доказательство. Рассмотрим формулу

Доказательство этой формулы проводится индукцией по а. Очевидно, формула верна при Предположим, что для некоторого натурального числа верна формула

Надо показать, что верна формула

Эта формула действительно верна, так как второй член дизъюнкции — истинная формула (при ). Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального а.

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Для любых натуральных а и b, если или то

Доказательство. Предположим, что . Тогда, по теореме 2.6, существует такое натуральное с, что . В силу аксиомы IV

По аксиоме следовательно,

СЛЕДСТВИЕ 2.8. Для любых натуральных а и b, если а то

ТЕОРЕМА 2.9. Для любых натуральных выполняется одно и только одно из трех условий:

(для некоторого );

(для некоторого ).

Доказательство. Из следствия 2.5 вытекает, что не может выполняться более чем одно из трех условий.

В самом деле, если бы выполнялись условия , то что невозможно по следствию 2.5. Если бы выполнялись условия (а) и (7), то что невозможно. Если бы выполнялись условия , то что также противоречит следствию 2.5.

Теперь покажем, что выполняется хотя бы одно из условий . Фиксируем произвольное натуральное число а и обозначим через дизъюнкцию условий . Докажем индукцией по b верность формулы Верна формула . В самом деле, если , то либо либо а . Если где Следовательно, при выполняется условие (а) или условие

Предположим, что для некоторого числа верна формула

и покажем, что тогда верна формула . В самом деле, если выполняется условие (Р). Если выполняется условие (Р). Если же , то . В этом случае если то и, по аксиоме II, — выполняется условие (а). Так как , то, по теореме 2.6, существует такое, что . Если , то и из равенства по аксиоме II получаем — выполняется условие (y). Итак, в любом случае верна формула Согласно принципу индукции, формула верна для любого натурального b. Поскольку а фиксировалось произвольно, то утверждение теоремы верно для любых натуральных а и b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью двух натуральных чисел а и b называется такое натуральное число k, что

Из теоремы 2.9 следует, что разность двух натуральных чисел а и b существует в том случае, когда выполнено условие (а) (при этом или . В случае выполнения условия (Р) разность чисел а и b не существует.

Легко показать, что если разность чисел а и b существует, то она единственна. В самом деле, если , то откуда, по закону сокращения для сложения, следует, что .

Единственное натуральное число, являющееся разностью чисел а и b, обозначают а — b.