Упражнения

1. Как изменится определитель квадратной матрицы порядка , если каждый элемент матрицы заменить на противоположный?

2. Пусть А — квадратная матрица порядка над полем — элемент этого поля. Докажите, что

3. Как изменится определитель квадратной матрицы порядка с комплексными элементами, если каждый элемент матрицы заменить комплексно-сопряженным?

4. Элементы квадратной, матрицы А порядка удовлетворяют условию где — комплексное число, сопряженное с Докажите, что есть действительное число.

5. Докажите, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали матрицы.

6. Как изменится определитель квадратной матрицы порядка , если первый столбец матрицы переставить на последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение?

7. Как изменится определитель квадратной матрицы порядка , если столбцы матрицы написать в обратном порядке?

8. Пусть в поле выполняется равенство Докажите, что определитель любой кососимметрической матрицы над нечетного порядка равен нулю.

9. Докажите, что

10. Докажите, что имеет место следующее разложение на линейные множители определителя Вандермонда порядка:

11. Покажите, что если квадратная матрица А обратима, то

12. Пусть А — квадратная матрица. Докажите, что для каждого целого положительного числа k. Покажите, что если матрица А — неособенная, то для любого целого числа к,