Научная библиотека

7. Определитель Вандермонда.

Определитель вида

называется определителем Вандермонда и имеет некоторое теоретическое значение, так как возникает в различных ситуациях.

Подсчитаем определитель Вандермонда для и Имеем

При подсчете определителя третьего порядка

вычтем из третьего столбца второй, умноженный на из второго, первый, умноженный на Получим:

Очевидно, что аналогичные рассуждения можно проводить и больших , и это дает основание сформулировать гипотезу:

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Пусть она доказана для определителя порядка . В определителе порядка вычтем из каждого столбца предшествующий, умноженный на

Мы можем применить предположение индукции:

Формула доказана.

8. Система n уравнений с n неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов.

Дана система линейных уравнений с и неизвестными

с числовыми коэффициентами (результаты остаются в силе системы уравнений с коэффициентами из любого поля).

Предполагаем, что .

Сначала допустим, что уравнение имеет решение и что составляют решение, так что уравнения уже превратились в верные равенства. Обозначим через алгебраические дополнения

Умножим первое из равенств системы на второе на на и сложим. Получим

Коэффициент при есть определитель D, представленный в разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же при все равны нулю, так как они суть суммы произведений алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству

Таким же образом, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим

и т. д. Из этих равенств получим

Тем мы показали, что если решение существует, то оно единственно и дается формулами, которые мы установили.

Теперь нужно доказать, что решение существует, т. е. что формулы для действительно дают решение.

Имеем

Здесь коэффициент при равен D в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при равны нулю как суммы элементов первой строки на алгебраические дополнения других строк.

Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные удовлетворяют и всем остальным уравнениям.

Тем самым мы доказали теорему о существовании и единственности решения системы линейных уравнений с неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов. Эта теорема носит название теоремы Крамера.

Формулы для решения можно преобразовать, учитывая, что

и аналогично преобразовать остальные числители. Получим

где есть определитель, матрица которого отличается от матрицы определителя D только столбцом, в который помещены . Эти формулы носят название формул Крамера. Раньше мы их получили для и