Научная библиотека

2. Свойства эрмитовых форм.

Эрмитовы формы обладают свойствами, аналогичными свойствам вещественных квадратичных форм. Доказательства соответствующих теорем тоже почти дословно повторяют аналогичные доказательства для вещественных квадратичных форм. Поэтому мы позволим себе сформулировать эти теоремы, опустив их доказательства.

Теорема 1. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду (с диагональной матрицей) посредством преобразования переменных с невырожденной комплексной матрицей.

Теорема 2. Ранг матрицы эрмитовой формы равен числу ненулевых коэффициентов в канонической форме.

Эрмитова форма (и ее матрица) называется положительно определенной, если все ее значения положительны, кроме значения при нулевых значениях переменных.

Теорема 3. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ее канонической формы были положительны.

Теорема 4. Для того чтобы эрмитова форма с невырожденной матрицей приводилась к каноническому виду преобразованием с правой унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы левые верхние диагональные миноры были отличны от нуля.

При этом коэффициенты в канонической форме равны

Теорема 5. Для того чтобы эрмитова форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы верхние диагональные миноры ее матрицы были все положительны.

Теорема 6. Число положительных и число отрицательных коэффициентов в канонической форме не зависит от способа приведения к каноническому виду (закон инерции).

Теорема 7. Все собственные значения эрмитовой матрицы вещественны.

Теорема 8. Эрмитова форма может быть приведена к каноническому виду посредством преобразования переменных с унитарной матрицей. При этом коэффициенты канонической формы равны собственным значениям матрицы формы, а столбцы преобразующей матрицы равны соответствующим собственным векторам.

Теорема 9. Две эрмитовы формы, из которых одна положительно определенная, можно одновременно привести к каноническому виду.

Теорема 10. Собственные значения матрицы, являющейся произведением двух эрмитовых матриц, одна из которых положительно определенная, все вещественны, и матрица подобна диагональной матрице, составленной из собственных значений.