9. Модули над кольцом главных идеалов.

Читатель, вероятно, обратил внимание на сходство формулировок теорем 9 и 10 и их доказательств с теоремами теории конечных абелевых групп — теоремой о разложении конечной абелевой группы в прямую сумму примарных и теоремой о разложении примарной абелевой группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп.

Обе эти теории можно рассматривать как частные случаи более общей теории конечно порожденных - периодических модулей над кольцом главных идеалов .

Дадим некоторые относящиеся сюда определения. Пусть А — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Модулем М над кольцом называется абелева группа, для элементов которой определено умножение на элементы , удовлетворяющее естественным требованиям:

Здесь а,

Модуль называется конечно порожденным, если существует конечное множество , такое, что все элементы из М представляются в виде при . Модуль называется -периодическим, если для каждого существует такое , что . Каждый элемент а, обладающий этим свойством, называется аннулятором элемента х. Множество аннуляторов образует идеал кольца А и, если А есть кольцо главных идеалов, идеал аннуляторов оказывается главным и порождающий его элемент играет роль минимального аннулятора — всякий другой аннулятор на него делится. Далее, существует аннулятор всего модуля, например произведение аннуляторов элементов порождающих М. Аннуляторы всего М снова образуют главный идеал, так что найдется минимальный в смысле делимости аннулятор, играющий роль минимального полинома. Модуль называется примарным, если он аннулируется степенью простого элемента кольца А. Ввиду того, что в кольце главных идеалов существует линейное представление наибольшего общего делителя, доказываются аналоги предложений 6, 7, 8 и теорема 9.

Модуль называется циклическим, если он порождается одним элементом. Аналог теоремы 10 о разложении примарного модуля в прямую сумму примарных циклических доказывается так же, как сама теорема 10, может только представить некоторое затруднение выбор объектов, по которым проводится индукция.

Конечные абелевы группы представляют собой конечно порожденные периодические модули для кольца Z целых чисел. Пространство с оператором можно рассматривать, как конечно порожденный периодический модуль над кольцом полиномов с «умножением» вектора на по правилу

Как кольцо Z, так и кольцо являются кольцами главных идеалов.