8. Преобразования.

Взаимно однозначное отображение множества М на себя называется его преобразованием.

Тождественное или единичное преобразование заключается в том, что каждый элемент отображается на себя. Последовательное осуществление двух преобразований равносильно третьему преобразованию, называемому их произведением. Умножение преобразований (в указанном смысле), очевидно, ассоциативно. Для каждого преобразования существует обратное, в силу взаимной однозначности преобразований. Для конечных множеств преобразования называются подстановками, и мы уже встречались с группой всех подстановок конечного множества — так называемой симметрической группой. Для бесконечных множеств группы всех преобразований совершенно необозримы, и рассматриваемые в математике группы преобразований выделяются посредством тех или иных достаточно сильных ограничений, связанных с особенностями строения рассматриваемых множеств.

Гомоморфное отображение группы G в группу преобразований некоторого множества называется представлением группы G посредством преобразований. Множество М, преобразованиями которого представляется группа G, становится -множеством, если каждому элементу G сопоставить в качестве действия на элементы М соответствующее ему в силу гомоморфизма преобразование. В свою очередь, каждое -множество М задает представление группы G преобразованиями.

Множество преобразований -множества М, вызванных действиями элементов G на М, не обязано быть группой, изоморфной G. Оно, вообще говоря, является лишь гомоморфным образом группы G. Ядром гомоморфизма является множество всех элементов G, вызывающих тождественное преобразование М, т. е. пересечение стабилизаторов всех точек. Следовательно, пересечение стабилизаторов всех точек есть нормальная подгруппа группы G, и группа преобразований, вызванных элементами G на -множестве М, изоморфна факторгруппе G по пересечению стабилизаторов всех точек множества М. Если пересечение стабилизаторов состоит только из 1, то представление группы G преобразованиями -множества М будет точным, т. е. группа G будет изоморфна группе вызванных ее элементами преобразований множества М.

Если -множество М есть однородное пространство, то стабилизаторами его точек являются все подгруппы, сопряженные со стабилизатором Я одной из точек. В этом случае группа преобразований М, вызванных элементами группы G, изоморфна факторгруппе G по пересечению группы Я со всеми сопряженными.