4. Приближенная интерполяция.

Задача о приближенном интерполировании особенно существенна при обработке экспериментальных данных. Их, как правило, нельзя считать абсолютно точными, и строить точный интерполяционный полином не имеет Смысла. Часто оказывается целесообразным выбирать полином Возможно более низкой степени так, чтобы он удовлетворял поставленным требованиям приближенно, но наилучшим образом в том или ином смысле. Степень полинома обычно подсказывается условиями задачи, требующей интерполяции.

Итак, пусть дана таблица данных

и требуется найти полином степени приближенно принимающий данные значения. Числа носят название невязок, они в совокупности должны быть малы. Основные критерии этой «совокупной малости» следующие.

I. Требуется подобрать так, чтобы наибольшая по модулю невязка была возможно меньше.

II. Требуется подобрать так, чтобы сумма модулей невязок была возможно меньше.

III. Требуется подобрать так, чтобы сумма квадратов невязок была возможно меньше.

Решение задачи по первым двум критериям непросто и приводится к довольно сложным экстремальным задачам. Гораздо проще решение задачи по третьему критерию. Оказывается также, что этот критерий наиболее приемлем с точки зрения теории вероятностей.

Рассмотрим задачу подробнее.

Речь идет об отыскании коэффициентов полинома , обеспечивающих минимум выражения

Это выражение есть полином второй степени относительно неизвестных . Абсолютный минимум (как функции переменных) будет также минимумом этого выражения, рассматриваемого как функция одного из коэффициентов при фиксированных остальных. Поэтому все частные производные по в точке минимума равны нулю. Приравнивая их нулю, получим систему линейных уравнений. Оказывается, что эта система имеет единственное решение, и оно действительно дает минимум.

Рассмотрим, например, таблицу

Мы видим, что у — почти линейная функция от в пределах табличных значений, так что ищем решения в виде полинома первой степени

Сумма квадратов невязок равна:

Вычисляем производные по а и по :

Решаем систему уравнений:

Получаем: , так что решением задачи является

Сравним значения этого полинома с данными задачи:

Максимальный модуль невязки равен 0,03. Если значения для у измерялись с точностью до 0,05, то построенный полином дает вполне удовлетворительную точность.