Научная библиотека

3. Решение уравнений четвертой степени.

Вскоре после того, как Кардано опубликовал способ решения кубических уравнений, его ученики и последователи нашли способы сведения общего уравнения четвертой степени к кубическому уравнению. Изложим наиболее простой способ, принадлежащий Л. Феррари.

При изложении способа нужно будет воспользоваться следующей элементарной леммой.

Лемма. Для того чтобы квадратный трехчлен был квадратом линейного двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант равнялся нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда Достаточность. Пусть Тогда

Идея излагаемого способа состоит в том, чтобы представить левую часть уравнения в виде разности двух квадратов. Тогда ее можно будет разложить на два множителя второй степени, и решение уравнения приведется к решению двух квадратных уравнений. Для достижения цели левую часть представим в виде:

Здесь у — вспомогательная неизвестная, которую нужно подобрать так, чтобы выражение в квадратных скобках оказалось квадратом линейного двучлена. В силу леммы для этого необходимо и достаточно выполнения условия

Это условие есть уравнение третьей степени относительно у. После раскрытия скобок оно преобразуется к виду

Пусть — один из корней этого уравнения. Тогда при условие будет выполнено, так что имеет место

при некоторых k и I. Исходное уравнение примет вид

или

Приравнивая нулю каждый из сомножителей, мы найдем четыре корня исходного уравнения.

Сделаем еще одно замечание. Пусть — корни первого сомножителя, и — корни второго. Тогда Сложив эти равенства, получим, что

Таким образом, мы получили выражение корня вспомогательного кубического уравнения через корни исходного уравнения четвертой степени.

Пример. Решить уравнение . Согласно изложенному выше методу преобразуем левую часть:

Теперь положим . После образований получим уравнение

Легко видеть, что одним из корней этого уравнения является число . Подставив его в преобразованную левую часть исходного уравнения, получим:

Приравнивая сомножители нулю, получим

Что касается уравнений выше четвертой степени, то здесь были известны некоторые классы уравнений сравнительно частного вида, допускающих алгебраические решения в радикалах, т. е. в виде результатов арифметических действий и действия извлечения корня. Однако попытки дать решение общих уравнений пятой степени и выше были безуспешны, пока, наконец, в начале 19 в. Руффини и Абель не доказали, что решение такого рода для общих уравнений выше четвертой степени невозможно. Наконец, в 1830 г. гениальному французскому математику Э. Галуа удалось найти необходимые и достаточные условия (проверяемые довольно сложно) для разрешимости в радикалах конкретно заданного уравнения. При этом Галуа создал и использовал новую для своего времени теорию групп подстановок.