Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Поле частных.

Присмотримся внимательнее к рассуждениям п. 1. Мы видим, что в этих рассуждениях мы почти не пользовались тем, что употреблявшиеся буквы обозначали полиномы. Нам было нужно, чтобы эти буквы были элементами коммутативного ассоциативного кольца с единицей, являющегося областью целостности. Этим мы пользовались при проверке транзитивности равенства дробей и при определениях их сложения и умножения, так как в определении дроби запрещено появление элемента 0 в знаменателе и нужно, чтобы знаменатель суммы и произведения был отличен от нуля.

Мы можем теперь повторить построения п. 1 на более высоком уровне абстракции.

Пусть А — произвольная коммутативная ассоциативная область целостности. Рассмотрим множество пар , элементов А.

Введем для них определения равенства и действий сложения и умножения:

Слово в слово так же, как в п. 1, проверяется корректность Этих определений. По отношению к сложению символы образуют абелеву группу с нулем (который не зависит от g, согласно Определению равенства). По отношению к умножению все ненулевые пары (т. е. отличные от образуют абелеву группу с единицей (не зависящей от g) и с обратным для элементом у.

Умножение со сложением связано дистрибутивностью. Таким образом, мы построили поле, которое называется полем частных для Области целостности А.

Кольцо А могло не содержать единицу, в поле частных она появляется.

Наконец, кольцо А вкладывается в свое поле частных посредством отождествления

Ясно, что поле частных для кольца целых чисел есть поле Q рациональных чисел. Подобно полиномам от одной буквы, множество полиномов от нескольких букв является областью целостности и вкладывается в поле частных состоящее из дробей .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление