Научная библиотека

§ 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве

1. Квадрат объема в общем случае.

Параллелепипедом, натянутым на m линейно независимых векторов в -мерном евклидовом пространстве, называется множество векторов при независимо изменяющимися на отрезке [0,1]. Назовем -мерный параллелепипед, натянутый на векторы основанием параллелепипеда, а расстояние от вектора до подпространства, натянутого на — высотой параллелепипеда.

«Объемом» одномерного параллелепипеда называется длина вектора Для больших размерностей объем определяется индуктивно, как объем основания, умноженный на высоту.

Теорема 1. Квадрат объема параллелепипеда равен определителю Грама совокупности векторов

Доказательство проведем индукцией по числу m векторов. Для это верно, ибо Допустим, что это верно для совокупности из векторов.

Пусть у — ортогональная проекция вектора на ортогональное дополнение к подпространству Р, натянутому на Эта проекция осуществляется параллельно подпространству Р, так что при некоторых и у ортогонален к векторам

Прибавим к последнему столбцу определителя G предшествующие, умноженные на . В силу линейности скалярного произведения по второму аргументу, мы получим в последнем столбце числа , из которых первые равны нулю. Последний элемент последнего столбца равен

Длина вектора у равна высоте параллелепипеда, согласно определению расстояния от вектора до подпространства. Таким образом, Последний определитель, согласно индуктивному предположению, есть квадрат объема основания. Следовательно, G равен квадрату объема рассматриваемого параллелепипеда, что и требовалось доказать.

2. Объем n-мерного параллелепипеда в n-мерном евклидовом пространстве.

Пусть линейно независимая совокупность векторов в -мерном пространстве, и пусть матрица

имеет своими столбцами координаты векторов относительно некоторого ортонормального базиса Тогда элемент матрицы равен , т. е. матрица есть матрица Грама для совокупности векторов . Имеем .

Таким образом, квадрат объема параллелепипеда равен квадрату определителя матрицы А и, следовательно, объем параллелепипеда равен абсолютной величине .

Вскроем геометрический смысл знака определителя матрицы А. Скажем, что совокупность векторов ориентирована так же, как базис если и ориентирована: противоположным образом, если

Скажем, что базис получается непрерывной деформацией из базиса если существует матрица , элементы которой непрерывно зависят от параметра t, меняющегося на отрезке [0,1], такая, что , где А — матрица из координат векторов причем при всех значениях

Покажем, что если базис имеет одинаковую ориентацию с базисом , то существует непрерывная деформация, переводящая . С этой целью представим невырожденную матрицу А в виде произведения ВН положительно определенной матрицы В на ортогональную матрицу . Далее, матрицу В представим в виде где D — диагональная матрица из положительных собственных значений матрицы В. Пусть — диагональная матрица, составленная из элементов . Тогда и элементы меняются непрерывно. При этом . Положим

Матрица собственно ортогональна, ибо Поэтому допускает представление где — ортогональная матрица, a F — блочно-диагональная, составленная из и блоков второго порядка вида (включая «блоки» ). Пусть -диагональная матрица, в которой каждый блок второго порядка заменен на блок Матрица непрерывно зависит от и при всех значениях t собственно ортогональна. Очевидно, что . Положим . Ясно, что непрерывно зависит от t, собственно ортогональна при всех значениях

Наконец, положим Матрица непрерывна при

Искомая деформация получена.

Если же ориентация противоположна ориентации то непрерывной деформации базиса не существует. Действительно, если матрица непрерывна при причем то будучи непрерывной функцией от t, должен перейти от положительного значения к отрицательному , что возможно, только если при некотором значении , т. е. векторы с матрицей из координат, равной линейно зависимы и не составляют базиса.