§ 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

1. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Пусть А — квадратная матрица с элементами, являющимися комплексными (в частности, вещественными) числами. Ненулевой столбец X называется собственным вектором матрицы А, если имеет место равенство при некотором комплексном (возможно, вещественном) К, называемом собственным значением, матрицы А.

Теорема 1. Для любой квадратной матрицы с комплексными элементами существует по крайней мере один собственный вектор с комплексными компонентами.

Доказательство. Пусть

и пусть . Это значит, что

приравнивание компонент дает

или

Это однородная система линейных уравнений относительно , причем нас интересуют ненулевые решения этой системы. Для существования таких решений необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю:

В матричной записи , т. е. X должно быть корнем характеристического полинома матрицы А. В силу алгебраической замкнутости поля комплексных чисел характеристический полином имеет корни, и каждый из них является собственным значением для некоторого собственного вектора, компоненты которого находятся из линейной однородной системы.

Заметим еще, что собственные значения, т. е. корни характеристического полинома, часто называют характеристическими числами матрицы.