Научная библиотека

3. Инвариантные подпространства.

Подпространство Р пространства S, в котором действует оператор называется инвариантным относительно этого оператора, если для любого вектор тоже принадлежит Р. Таким образом, оператор отображает Р в , и, ограничив область определения оператора подпространством Р, мы получим оператор из Р в . Для краткости, вместо того чтобы говорить об ограничении оператора на Р, скажем короче — оператор на Р.

Далее, если , то , так что . Таким образом, оператор сохраняет сравнимость по инвариантному подпространству, и тем самым действие оператора естественно переносится на факторпространство. В результате на факторпространстве возникает оператор, индуцированный оператором

Пусть — базис инвариантного подпространства и пусть — базис S, включающий базис Р. Тогда для векторов координаты, начиная с равны нулю, так что в выбранном базисе оператору соответствует матрица

Матрица есть, очевидно, матрица оператора на Р. Далее,

так что правый нижний квадрат матрицы А есть матрица оператора, индуцированного оператором на фактопространстве

Предложение 1. Характеристический полином оператора действующего в пространстве S, делится на характеристический полином оператора на инвариантном подпространстве Р. Частным от их деления является характеристический полином оператора, индуцированного оператором на факторпространстве

Доказательство.

По теореме об определителе ступенчатой матрицы

что и доказывает предложение.

Матрица оператора еще больше упрощается, если S разлагается в прямую сумму двух или нескольких инвариантных подпространств. В этой ситуации за базис S можно взять объединение базисов прямых слагаемых, и оператор будет преобразовывать базис каждого из подпространств посредством матрицы ограничения оператора на так что в целом матрица окажется блочно-диагональной:

Здесь — матрицы оператора на инвариантных прямых слагаемых а нулями обозначены нулевые матрицы надлежащих размеров.

Из сказанного следует, что для упрощения матрицы оператора нужно стремиться, насколько это возможно, разложить пространство 5 в прямую сумму инвариантных подпространств.

Предложение 2. Ядро и образ любого полинома от оператора (в частности, самого оператора) являются инвариантными подпространствами.

Доказательство. Пусть вектор принадлежит ядру оператора . Это значит, что . Но тогда и, в силу перестановочности значений полиномов, так что принадлежит ядру оператора . Это значит, что ядро инвариантно.

Пусть теперь принадлежит образу . Тогда так что тоже принадлежит образу что и означает, что образ есть инвариантное подпространство.